【C++】AVL树的底层以及实现

news2024/11/22 16:13:35

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文章目录

  • ⭐一、AVL树的概念
  • 🎉二、AVL树的性质
  • 🏝️三、AVL树的实现
    • 1. 树的基本结构
    • 2. 树的插入
    • 3. 树的旋转
      • • 左单旋
      • • 右单旋
      • • 左右双旋
      • • 右左双旋
  • 🎡四、AVL树的其它功能
    • 1. 树的查找
    • 2. 树的遍历
    • 3. 树的高度
    • 4. 树的大小
  • 🚀五、总结
    • 1. AVL树的优缺点
    • 2. 完整代码

⭐一、AVL树的概念

AVL树是一种高度平衡的平衡二叉树，相比于搜索二叉树，它的特点在于左右子树都为AVL树且树的高度差的绝对值不超过1。
这里我们会引入一个新的概念叫做平衡因子。平衡因子也就是左右子树的高度差，我们可以通过平衡因子方便我们后续去观察和控制树是否平衡。
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🎉二、AVL树的性质

AVL树主要有三大性质：
1.每棵树的左右子树都是AVL树。
2.左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1。
3.每个节点都会有一个平衡因子，且任何一个节点的平衡因子都为1、0、-1。

🏝️三、AVL树的实现

1. 树的基本结构

AVL树的结点包含了左右节点的指针以及父亲节点的指针，同时还有有key、value以及代表树平衡的平衡因子。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	//平衡因子
	int _bf; 
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

2. 树的插入

树的插入按照搜索二叉树的规则进行插入。插入节点后更新平衡因子，如果没有违反规则(即没有导致节点的平衡因子变成2/-2)，则插入结束；如果违反规则，则树会不平衡，需要进行旋转操作。

平衡因子的更新规则：
1.平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
2.只有子树高度的变化才会影响当前节点的平衡因子。
3.插入节点后会增加数的高度，若新增节点在parent的右子树，则parent的平衡因子++，相反在parent的左子树时，则平衡因子- -。

每更新完一个节点的平衡因子都需要进行以下判断：
1.如果parent的平衡因子等于1/-1时，说明parent原先的平衡因子为0，插入节点后左子树或右子树的高度增加了，说明还需要向上更新平衡因子。
2.如果parent的平衡因子等于0，说明parent原先的平衡因子为1/-1，插入节点后左右两棵子树从不平衡变平衡了，说明无需更新平衡因子。
3.如果parent的平衡因子等于2/-2时，说明parent原先的平衡因子等于1/-1，插入节点后插入到了较高的那一棵子树，说明此时以parent为根节点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。
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bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//如果树为空，则插入的节点就是根节点
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
			parent->_bf++;
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//继续往上进行更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//不平衡，旋转处理
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		break;
	}
	return true;
}

3. 树的旋转

旋转的目的就是让树从失衡到平衡，降低树的高度。
旋转主要分为四种，分别为左单旋、右单旋、左右双旋和右左双旋。下面我们具体讲讲每一种旋转的内部逻辑。

• 左单旋

条件：新节点插入到子树较高的右侧。
我们用图来感受一下其旋转的过程：
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1.先将15的左子树的节点12变成10的右子树。
2.再将10变成15的左子树，15成为新树的根节点。
3.更新平衡因子

由于左单旋的情况很多，我们也可以用一张抽象图来表示：
在这里插入图片描述
代码所示：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subR;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	Node* pparent = parent->_parent;
	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent == parent->_right)
		{
			parent->_right = subR;
		}
		else
		{
			parent->_left = subR;
		}
		subR->_parent = pparent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

• 右单旋

条件：新节点插入到子树较高的左侧
用图来感受旋转的过程：
在这里插入图片描述
我们会发现和左单旋和相似
1.先将5的右子树的值b变成10的左子树。
2.再将10变成5的右子树，旋转完后5成为整棵树的根节点。
3.更新平衡因子。
代码所示：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	parent->_left = subLR;
	if(subLR)
		subLR->_parent = parent;
	Node* pparent = parent->_parent;
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;
	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent == parent->_left)
		{
			parent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = pparent;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

• 左右双旋

条件：新节点插入到较高左子树的右侧。
下面我们用图来演示一下其旋转过程：
1.插入新节点
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2.以节点5为旋转点进行左单旋
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3.以节点为10进行右单旋
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4.旋转完后更新平衡因子。
平衡因子又分为三种情况：
1.当subLR的平衡因子为-1时，左右双旋后parent、subL,subLR的平衡因子分别为1、0、0。
2.当subLR的平衡因子为1时，左右双旋后parent、subL,subLR的平衡因子分别为0、-1、0。
3.当subLR的平衡因子为0时，左右双旋后parent、subL,subLR的平衡因子分别为0、0、0。

代码所示：

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

• 右左双旋

条件：插入到较高右子树的左侧
其旋转过程和左右双旋类似，这就不一一列举了。
旋转完过后也是需要更新平衡因子，平衡因子也是跟左右双旋一样有三种情况。
代码所示：

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

🎡四、AVL树的其它功能

1. 树的查找

定义一个cur指针从树的根节点开始查找，按一下规则进行查找：
1.当key的值小于当前节点的值时，则在该节点的左边进行查找。
2.当key的值大于当前节点的值时，则在该节点的右边进行查找。
3.若key的值等于当前节点的值时，则说明查找成功，返回true。
4.若遍历完还没查找到该节点的值，则说明没有此节点，返回false。
代码所示：

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2. 树的遍历

我们遍历方式有前序、中序、后序、层序等方式，我们在这就采用中序遍历的方式来遍历树的每一节点。
代码所示：

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_Inorder(root->_right);
}

3. 树的高度

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

4. 树的大小

返回左子树+右子树再加上根节点即可。

int _Size(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

🚀五、总结

1. AVL树的优缺点

优点：
**1.查找效率高：**由于AVL树总是保持平衡，其高度相对较低，因此查找操作的时间复杂度为O(log2N)，效率较高。
2.结构稳定： AVL树的平衡性使得其结构相对稳定，不会出现极端不平衡的情况，从而保证了操作的稳定性和可靠性。

缺点：
1.插入和删除复杂： AVL树在插入和删除节点时，可能需要通过旋转操作来保持树的平衡，比较复杂。
2.可能导致性能下降： 在频繁插入和删除的场景下，AVL树需要不断地进行旋转操作来保持平衡，这就有可能导致性能降低。

2. 完整代码

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	//平衡因子
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef	AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
				parent->_bf++;
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续往上进行更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//不平衡，旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
			break;
		}
		return true;
	}
	
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if(subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent == parent->_left)
			{
				parent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = pparent;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent == parent->_right)
			{
				parent->_right = subR;
			}
			else
			{
				parent->_left = subR;
			}
			subR->_parent = pparent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	void Hight()
	{
		return _Hight(_root);
	}

	void Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

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视频想要快速的分享给其他人&#xff0c;选择生成二维码是一种很方便的形式&#xff0c;其他人只需要扫描二维码就可以在线查看视频&#xff0c;与其他分享方式相比更加的简单、方便。现在日常生活中有很多场景都会有视频二维码的应用&#xff0c;简化了获取视频的流程&#xf…
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typora笔记导出word格式：

typora笔记导出word格式：

Pandoc&#xff1a;各系统下载github链接 https://github.com/jgm/pandoc/releases/latest windows安装包 链接&#xff1a;https://pan.baidu.com/s/17AZNIMImbzFtWJAcAfAB0g?pwd55l2 提取码&#xff1a;55l2 先解压压缩包 点击 设置Pandoc路径&#xff0c;然后选择pa…
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处理器中的几种hazard

处理器中的几种hazard

什么是hazard? Instructions interact with each other in pipeline ; Structural Hazard 原因&#xff1a; An instruction in the pipeline may need a resource being used by another instruction in the pipeline ;Structural hazard occurs when two instructions nee…
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Chromium 中chrome.cookies扩展接口c++实现分析

Chromium 中chrome.cookies扩展接口c++实现分析

chrome.cookies 使用 chrome.cookies API 查询和修改 Cookie&#xff0c;并在 Cookie 发生更改时收到通知。 更多参考官网定义&#xff1a;chrome.cookies | API | Chrome for Developers (google.cn) 本文以加载一个清理cookies功能扩展为例 https://github.com/Google…
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RHCSA的学习（4）

RHCSA的学习（4）

一、vi编辑器 &#xff08;1&#xff09;为什么学vi&#xff1f; 所有的Unix Like 系统都会内建 vi 文本编辑器&#xff0c;其他的文本编辑器则不一定会存在&#xff1b; 很多个别软件的编辑接口都会主动呼叫 vi (例如未来会谈到的 crontab, visudo, edquota 等指令)&#x…
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考试宝 逆向 分析

考试宝 逆向 分析

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