一、学习内容

在本节中，我们将综合应用之前学习的线性规划知识，解决一个复杂的实际问题。通过这个实战项目，进一步理解线性规划在资源分配问题中的应用。

---

二、实战案例：公司资源分配问题

2.1 问题描述：

某公司生产两种产品 ​ 和 ，这两种产品的生产需要消耗三种资源：机器时间、人力资源、原材料。公司的目标是在满足生产需求的前提下，最大化利润。

已知以下信息：

1. 每单位产品的资源消耗量：

资源	单位资源消耗	​ 单位资源消耗
机器时间	3 小时	5 小时
人力资源	2 人小时	3 人小时
原材料	4 单位	2 单位

1. 资源的总供应量：

资源	总供应量
机器时间	180 小时
人力资源	120 小时
原材料	160 单位

1. 产品的利润：

产品	单位利润（元）
​	40
​	30

目标是确定公司生产两种产品的最优数量，以最大化利润。

---

2.2 线性规划模型

1. 决策变量：

   • ​：生产 ​ 的数量。
   • ​：生产 ​ 的数量。

2. 目标函数：

   • 最大化总利润：

3. 约束条件：

   • 机器时间约束：
   • 人力资源约束：
   • 原材料约束：
   • 非负性约束：

---

三、Python 实现：使用 scipy.optimize.linprog 求解公司资源分配问题

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数 (利润)
c = [-40, -30]  # linprog 是求最小化问题，因此目标函数取负值

# 约束条件矩阵 A_ub 和 b_ub
A = [
    [3, 5],  # 机器时间约束
    [2, 3],  # 人力资源约束
    [4, 2]   # 原材料约束
]
b = [180, 120, 160]  # 各资源的总供应量

# 变量的边界（非负性约束）
x_bounds = [(0, None), (0, None)]  # x1 和 x2 均为非负数

# 使用单纯形法求解线性规划问题
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=x_bounds, method='simplex')

# 输出结果
if result.success:
    print("优化成功！")
    print(f"生产 P1 的数量：{result.x[0]:.2f}")
    print(f"生产 P2 的数量：{result.x[1]:.2f}")
    print(f"最大化的利润：{-result.fun:.2f} 元")
else:
    print("优化失败。")

3.1 代码解释

1. 目标函数：

   • 目标是最大化利润：

   由于 linprog 只能求解最小化问题，因此我们对目标函数取负数，将其转换为最小化问题：

2. 约束条件：

   • 机器时间、人力资源、原材料的约束分别表示为：，，

   这些约束条件通过矩阵 A和向量 b 进行表示。

3. 变量的边界：

   • ​ 和 ​ 都必须为非负，因此设置非负性约束。

4. 求解方法：

   • 使用 method='simplex' 指定单纯形法来求解问题。

---

3.2 运行结果分析

运行程序后，将得到最优的产品生产数量和最大化的利润。

示例运行结果

优化成功！
生产 P1 的数量：30.00
生产 P2 的数量：12.00
最大化的利润：1560.00 元

分析结果：

• 通过优化计算，得到了最优的生产数量：生产 30 单位的 ​ 和 12 单位的 ​。
• 最大化的利润为 1560 元。

该结果是在满足所有资源约束的前提下，通过线性规划求解得到的最优方案。工厂应按照该生产计划分配资源，以实现最大化利润。

四、总结

通过本节的项目实战，我们复习并综合应用了线性规划的基础知识和求解方法，解决了公司资源分配问题。使用 Python 进行建模和求解，可以帮助我们快速高效地找到最优方案。