均值模板和二阶差分模板都是偶对称。实偶函数的傅里叶变换仍是实偶函数。

给个证明过程

实偶函数

一个函数 $f(x)$ 被称为实偶函数，如果它满足以下条件：

$$f(-x)=f(x)$$

傅里叶变换

对于一个实偶函数 $f(x)$，其傅里叶变换定义为：

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$$

为什么傅里叶变换是实数

1. 欧拉公式：首先，我们可以使用欧拉公式将指数函数分解为正弦和余弦函数：

   $$e^{-i\omega x}=\cos (\omega x)-i\sin (\omega x)$$

2. 傅里叶变换的实部和虚部：将上述表达式代入傅里叶变换的定义中，得到：

   $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)(\cos (\omega x)-i\sin (\omega x))dx$$

   这可以进一步拆分为实部和虚部：

   $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\cos (\omega x)dx-i{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\sin (\omega x)dx$$

3. 实偶函数的性质：由于 $f(x)$ 是实偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，我们有以下性质：

   • $f(x)\cos (\omega x)$ 也是偶函数，因为 $\cos (\omega x)$ 是偶函数。
   • $f(x)\sin (\omega x)$ 是奇函数，因为 $\sin (\omega x)$ 是奇函数。

4. 奇函数的积分：奇函数在一个对称区间上的积分等于零。因此：

   $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\sin (\omega x)dx=0$$

5. 傅里叶变换的实部：因此，傅里叶变换简化为：

   $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\cos (\omega x)dx$$

   由于 $f(x)\cos (\omega x)$ 是偶函数，其积分结果是实数。

为什么傅里叶变换是偶函数

1. 对称性：由于 $f(x)$ 是实偶函数，傅里叶变换 $F(\omega )$ 也具有对称性。具体来说，对于任何 $\omega$，我们有：

   $$F(-\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\omega x}dx$$

2. 共轭对称性：注意到 $e^{i\omega x}=\cos (\omega x)+i\sin (\omega x)$，因此：

   $$F(-\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)(\cos (\omega x)+i\sin (\omega x))dx$$

   由于 $f(x)\cos (\omega x)$ 是偶函数，$f(x)\sin (\omega x)$ 是奇函数，我们有：

   $$F(-\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\cos (\omega x)dx+i{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\sin (\omega x)dx$$

   由于 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\sin (\omega x)dx=0$，因此：

   $$F(-\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\cos (\omega x)dx=F(\omega )$$

   这表明 $F(\omega )$ 是偶函数。

两种模板的零相位响应

这两种模板都可以直接显示零相位响应。在这种情况下，由于傅里叶变换的结果是实数，模运算是在做绝对值运算。


均值模板


高斯模板

4邻域拉普拉斯

8邻域拉普拉斯