一、平面及其方程（3个条件，4种表达）

$F(x,y,z)$为平面方程：

• 在这个平面上的点满足$F(x,y,z)=0$
• 不在这个平面上的点不满足$F(x,y,z)=0$

归根结底，就是要三个点。变化有很多，可能是三个平面内的点，也可能是截点，也可能连成平面内线段后确定法向搞点法式

1.点法式

用平面法线和平面上的一个向量来确定平面。

平面方程：$a(x_0-x)+b(y_0-y)+c(z_0-z)=0$

$\mathbf{PQ}\cdot \mathbf{n}=0$

• 法线$\mathbf{n}=(a,b,c)$
• 法线和平面交点$Q=(x_0,y_0,z_0)$
• 平面上其他一点$P=(x,y,z)$
• $\mathbf{PQ}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$

2.一般式

$Ax+By+Cz+D=0$

3.三点式

用平面上不共线的三点确定一个平面。

已知：$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$，在平面上任取一点$P(x,y,z)$

$\mathbf{PA}=(x_1-x,y_1-y,z_1-z)$

$\mathbf{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

$\mathbf{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$

$[\mathbf{PA},\mathbf{AB},\mathbf{AC}]=0$
$$\left(\begin{array}{lcc}{x}_1-x& y_1-y& z_1-z\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right)=0$$

也可以直接根据$\mathbf{AB}\times \mathbf{AC}$构造法向量，然后用点法式。

4.截距式

若平面和三坐标轴分别相交于A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，则从上面的三点式可以得：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{lcc}a-x& -y& -z\\ -a& b& 0\\ -a& 0& c\end{array}\right)=0 \\ bcx+acy+abz=abc \\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \end{gathered}$$
对于一般式：$Ax+By+Cz=D$

=>$\frac{A}{D}x+\frac{B}{D}y+\frac{C}{D}z=1$

$\frac{A}{D}=\frac{1}{a};\frac{B}{D}=\frac{1}{b};\frac{C}{D}=\frac{1}{c}$

二、平面和平面的关系

假设有两个平面，平面方程分别为$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

1.垂直

两平面垂直的时候两平面对应法向量也垂直。

${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$

2.平行（不重叠）

${\mathbf{n}}_1//{\mathbf{n}}_2$

• ${\mathbf{n}}_1=k{\mathbf{n}}_2(k\ne 0)$
• ${\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=0$
• $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\lambda ,\frac{D_1}{D_2}\ne \lambda$

3.重叠

${\mathbf{n}}_1={\mathbf{n}}_2$

• ${\mathbf{n}}_1=k{\mathbf{n}}_2$
• $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}=\lambda$

4.相交

不平行，可能垂直的状态。

• ${\mathbf{n}}_1\ne k{\mathbf{n}}_2$
• ${\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2\ne 0$