4. 微分
4.1 微分和导数
考虑一个函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)，当
x
x
x做一些微小的变动，函数值也会有微小的变动，比如：
x
→
x
+
△
x
x\to x+\bigtriangleup x
x→x+△x，则
f
(
x
)
→
f
(
x
+
△
x
)
f(x)\to f(x+\bigtriangleup x)
f(x)→f(x+△x)，函数值的变动用
△
y
\bigtriangleup y
△y来便是，即
△
y
=
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
\bigtriangleup y =f(x+\bigtriangleup x)-f(x)
△y=f(x+△x)−f(x)
【例】导出第一宇宙速度
7.9
km/s
7.9\text{km/s}
7.9km/s
画一个很大的球，有一个宇宙飞船绕地球做圆周运动，
它的速度永远是圆的切线方向，假设
△
t
=
1
s
\bigtriangleup t=1\text{s}
△t=1s应该从A点跑到B点（没有地球引力的前提下），结果
△
t
=
1
s
\bigtriangleup t=1\text{s}
△t=1s它从A点运动到C点（有地球引力），所以BC是自由落体的路程，
BC
=
1
2
g
t
2
=
4.9
m
\text{BC}=\frac{1}{2}gt^{2}=4.9\text{m}
BC=21gt2=4.9m，，将
OA
=
OC
=
6371000
m
\text{OA}=\text{OC}=6371000\text{m}
OA=OC=6371000m（近似为地球半径）
AB
2
=
OB
2
−
OA
2
=
(
6371000
+
4.9
)
2
−
(
63710000
)
2
\text{AB}^{2}=\text{OB}^{2}-\text{OA}^{2}=(6371000+4.9)^{2}-(63710000)^{2}
AB2=OB2−OA2=(6371000+4.9)2−(63710000)2
所以
AB
≈
7900
m
\text{AB}\approx 7900\text{m}
AB≈7900m
这相当于
y
=
f
(
x
)
=
x
2
y=f(x)=x^2
y=f(x)=x2，考虑
x
=
6371000
x=6371000
x=6371000，
△
x
=
4.9
\bigtriangleup x=4.9
△x=4.9，
AB
2
=
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
\text{AB}^{2}=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)
AB2=f(x+△x)−f(x)
4.1.1 微分的定义
【定义4.1.1】
x
0
∈
D
f
x_{0}\in\textbf{D}_{f}
x0∈Df（
f
f
f的定义域），若存在只与
x
0
x_{0}
x0有关，与
△
x
\bigtriangleup x
△x无关的
g
(
x
0
)
g(x_{0})
g(x0)，使得当
△
x
→
0
\bigtriangleup x\to 0
△x→0的时候，
f
(
x
0
+
△
x
)
−
f
(
x
0
)
=
△
y
=
g
(
x
0
)
△
x
+
o
(
△
x
)
f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)=\bigtriangleup y=g(x_{0})\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)
f(x0+△x)−f(x0)=△y=g(x0)△x+o(△x)，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_{0}
x0可微，若
f
(
x
)
f(x)
f(x)在区间
X
\textbf{X}
X的没一点可微，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)在区间
X
\textbf{X}
X可微，将
g
(
x
0
)
△
x
g(x_{0})\bigtriangleup x
g(x0)△x称为
△
y
\bigtriangleup y
△y的线性主要部分（线性主部），记
△
x
\bigtriangleup x
△x为
d
x
dx
dx，若
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
x
x点可微，则有
△
y
=
g
(
x
)
△
x
+
o
(
△
x
)
,
(
△
x
→
0
,
△
y
→
0
)
\bigtriangleup y=g(x)\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x),(\bigtriangleup x\to 0,\bigtriangleup y\to 0)
△y=g(x)△x+o(△x),(△x→0,△y→0)，记
△
y
\bigtriangleup y
△y为
d
y
dy
dy，并将上式写为
d
y
=
g
(
x
)
d
x
dy=g(x)dx
dy=g(x)dx（把高阶无穷小丢掉了）
【例4.1.1】
y
=
f
(
x
)
=
x
2
y=f(x)=x^{2}
y=f(x)=x2，对
∀
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
△
y
=
(
x
+
△
x
)
2
−
x
2
=
2
x
△
x
+
△
x
2
\forall x\in(-\infty,+\infty), \bigtriangleup y=(x+\bigtriangleup x)^{2}-x^{2}=2x\bigtriangleup x+{\bigtriangleup x}^{2}
∀x∈(−∞,+∞),△y=(x+△x)2−x2=2x△x+△x2，所以
y
=
f
(
x
)
=
x
2
y=f(x)=x^{2}
y=f(x)=x2在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)上可微，记为
d
y
=
2
x
d
x
dy=2xdx
dy=2xdx.
取
x
0
=
3
x_{0}=3
x0=3，在
x
0
=
3
x_{0}=3
x0=3这一点的微分表示是
d
y
=
6
d
x
dy=6dx
dy=6dx
【例4.1.2】
y
=
f
(
x
)
=
x
2
3
=
x
2
3
y=f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}
y=f(x)=3x2=x32，定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)，考虑
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
=
0
x_{0}=0
x0=0是否可为微。
【解】
△
y
=
f
(
0
+
△
x
)
−
f
(
0
)
=
△
x
2
3
\bigtriangleup y=f(0+\bigtriangleup x)-f(0)={\bigtriangleup x}^{\frac{2}{3}}
△y=f(0+△x)−f(0)=△x32，当
△
x
→
0
\bigtriangleup x\to0
△x→0的时候，
△
x
2
3
{\bigtriangleup x}^{\frac{2}{3}}
△x32是比
△
x
\bigtriangleup x
△x的低阶无穷小，因而
△
y
\bigtriangleup y
△y不能写成
△
x
\bigtriangleup x
△x的线性项与高阶项之和，由可微的定义可知，
y
=
f
(
x
)
=
x
2
3
=
x
2
3
y=f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}
y=f(x)=3x2=x32在
x
=
0
x=0
x=0处不可微。它在
(
−
∞
,
0
)
(-\infty,0)
(−∞,0)和
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(0,+∞)上可微。
【结论】需要注意的是，若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
x
x处是可微的，那么当
△
x
→
0
\bigtriangleup x \to 0
△x→0必有
△
y
=
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
→
0
\bigtriangleup y=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)\to 0
△y=f(x+△x)−f(x)→0（
f
(
x
+
△
x
)
→
f
(
x
)
f(x+\bigtriangleup x)\to f(x)
f(x+△x)→f(x)），即
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
x
x处连续，所有我们有可微必定连续的结论，但是连续不一定可微，比如例4.1.2
4.1.2 微分与导数
若
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在
x
0
x_0
x0可微，则
△
y
=
g
(
x
0
)
△
x
+
o
(
△
x
)
,
(
△
x
→
0
,
△
x
≠
0
)
\bigtriangleup y=g(x_{0})\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x),(\bigtriangleup x\to 0,\bigtriangleup x\ne 0)
△y=g(x0)△x+o(△x),(△x→0,△x=0)，在这个式子两边除
△
x
\bigtriangleup x
△x，得到
△
y
△
x
=
g
(
x
0
)
+
o
(
△
x
)
△
x
\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=g(x_0)+\frac{o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}
△x△y=g(x0)+△xo(△x)，令
△
x
→
0
\bigtriangleup x\to 0
△x→0，得到
lim
△
x
→
0
△
y
△
x
=
g
(
x
0
)
\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=g(x_0)
△x→0lim△x△y=g(x0).
【定义4.1.2】
x
0
∈
D
f
x_0\in\textbf{D}_{f}
x0∈Df（
f
f
f的定义域），若极限
lim
△
x
→
0
△
y
△
x
=
lim
△
x
→
0
f
(
x
0
+
△
x
)
−
f
(
x
0
)
△
x
\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}
△x→0lim△x△y=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0可导，记该极限值为
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)或
y
′
(
x
0
)
y'(x_0)
y′(x0)或
d
y
d
x
∣
x
=
x
0
,
d
f
d
x
∣
x
=
x
0
\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df}{dx}|_{x=x_0}
dxdy∣x=x0,dxdf∣x=x0，
f
(
x
)
f(x)
f(x)可导的范围是
D
f
\textbf{D}_f
Df的子集（即在这个子集上没一点都有
f
(
x
)
f(x)
f(x)对应的导数值），因此，我们得到在子集上的一个新的函数，称为
f
f
f的导数所产生的函数，将它称为
f
f
f的导函数，记为
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)或
y
′
(
x
)
y'(x)
y′(x)或
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
dxdy或
d
f
d
x
\frac{df}{dx}
dxdf.
【结论】一元函数的可微
⇔
\Leftrightarrow
⇔可导且
f
′
(
x
0
)
=
g
(
x
0
)
f'(x_0)=g(x_0)
f′(x0)=g(x0)换句话说就是
d
y
=
f
′
(
x
0
)
d
x
dy=f'(x_0)dx
dy=f′(x0)dx.
【证】可导：
lim
△
x
→
0
△
y
△
x
=
f
′
(
x
0
)
\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=f'(x_0)
△x→0lim△x△y=f′(x0)，即
lim
△
x
→
0
(
△
y
△
x
−
f
′
(
x
0
)
)
\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}(\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}-f'(x_0))
△x→0lim(△x△y−f′(x0))，所以
△
y
△
x
−
f
′
(
x
0
)
=
o
(
1
)
,
(
△
x
→
0
)
\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}-f'(x_0)=o(1),(\bigtriangleup x\to 0)
△x△y−f′(x0)=o(1),(△x→0)
即
△
y
=
f
′
(
x
0
)
△
x
+
o
(
1
)
△
x
\bigtriangleup y=f'(x_0)\bigtriangleup x+o(1)\bigtriangleup x
△y=f′(x0)△x+o(1)△x，将
o
(
1
)
△
x
o(1)\bigtriangleup x
o(1)△x看作一个函数，它除
△
x
\bigtriangleup x
△x后，趋于0，则
o
(
1
)
△
x
=
o
(
△
x
)
o(1)\bigtriangleup x=o(\bigtriangleup x)
o(1)△x=o(△x)
所以
△
y
=
f
′
(
x
0
)
△
x
+
o
(
△
x
)
\bigtriangleup y=f'(x_0)\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)
△y=f′(x0)△x+o(△x)
所以可导和可微是等价的。
【注】多元函数的可导和可微是不等价的。
