动态规划算法专题（一）：斐波那契数列模型

1、动态规划简介

2、算法实战应用【leetcode】

2.1 题一：第N个泰波那契数

2.1.1 算法原理

2.1.2 算法代码

2.1.3 空间优化原理——滚动数组

2.1.4 算法代码——空间优化版本

2.2 题二：三步问题

2.2.1 算法原理

2.2.2 算法代码

2.3 题二：使用最小花费爬楼梯

2.3.1 算法原理【解法一】

2.3.2 算法代码【解法一】

2.3.3 算法原理【解法二】

2.3.4 算法代码【解法二】

2.4 题三：解码方法

2.4.1 算法原理

2.4.2 算法代码

2.4.3 初始化技巧

2.4.4 算法代码——初始化技巧使用

1、动态规划简介

‌动态规划（Dynamic Programming, DP）是运筹学的一个分支，用于求解最优化问题。

在解决问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法(自底向上)正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

动态规划算法，一般包含以下几个主要步骤:

状态表示：dp表中的值所表示的含义。一般由经验+题目要求得出。对于一维的dp表，dp[i]通常有这两种表示形式(由经验得出)：①：以i位置为结尾，......；②：以i位置为起点，......；而....就是需要结合题目来得出的。
状态转移方程：就是dp[i]是怎么来的。dp[i]通常由其相邻的其他状态经过公式计算得出，状态转移方程就是这个公式。
初始化：确保在填dp表的过程中不越界。
填表顺序：为了在填写当前状态的时候，所需要的其他相邻状态已经计算得出了。
返回值：结合题目要求。

在此过程中，我认为确定状态表示是最重要的一点，而确定状态转移方程是最难的一点。

2、算法实战应用【leetcode】

2.1 题一：第N个泰波那契数

. - 力扣（LeetCode）

2.1.1 算法原理

对于一维dp，状态表示通常由经验+题目要求得出，本题很明显，表示第i个泰波那契数的值；同时状态转移方程题目也是贴心的给出了。

状态表示dp[i]：第i个泰波那契数的值
状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
初始化：dp[0] = 0; dp[1] = dp[2] = 1；
填表顺序：从左往右
返回值：dp[n]

2.1.2 算法代码

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0; dp[1] = dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }
        return dp[n];
    }
}

2.1.3 空间优化原理——滚动数组

实际上，我们可以不用创建一个dp数组来存储数值，

通过“滚动数组”的方式，进行空间优化。

仅仅使用三个变量就可以解题，不必再开辟额外的空间。

2.1.4 算法代码——空间优化版本

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        //动态规划 -> 空间优化
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            d = a + b + c;
            //滚动操作
            a = b;
            b = c;
            c = d;
        }
        return d;
    }
}

2.2 题二：三步问题

. - 力扣（LeetCode）

2.2.1 算法原理

状态表示(经验+题目要求)：dp[i]：到达第i个位置，一共有多少种方式
状态转移方程：要到达i位置，可由移动到i-1/i-2/i-3位置的基础上，再移动三/二/一步就可到达，即：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]；
初始化：dp[1]=1; dp[2]=2; dp[3]=4;
填表顺序：从左往右

2.2.2 算法代码

class Solution {
    //dp[i]状态表示：到达i位置，一共有多少种方法
    public int waysToStep(int n) {
        //1e9 + 7：double类型
        int MOD = (int)1e9 + 7;
        if(n == 1 || n == 2) return n;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;
        for(int i = 4; i < n + 1; i++) {
            //状态转移方程
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;
        }
        return dp[n];
    }
}

2.3 题二：使用最小花费爬楼梯

. - 力扣（LeetCode）

2.3.1 算法原理【解法一】

状态表示dp[i]：到达i位置，最小花费的金额(以i位置为结尾)
状态转移方程：需要考虑，到达i-1位置和到达i-2位置最小花费的金额数，考虑完后，再进一步到达i位置。也就是说：dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
初始化：dp[0]=0; dp[1]=0;（防越界）
dp的建表顺序：从左至右
返回值：dp[n]

2.3.2 算法代码【解法一】

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        //解法一：
        int n = cost.length;
        //状态表示dp[i]：到达i位置时，最小花费
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[0] = dp[1] = 0;
        //填表顺序：从左往右
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            //状态转移方程
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] +cost[i - 2]);
        }
        //返回值:dp[n]
        return dp[n];
    }
}

2.3.3 算法原理【解法二】

状态表示dp[i]：从i位置开始，到达楼顶，最小花费的金额(以i位置为起点)
状态转移方程：需要考虑，i+1位置和i+2位置到达楼顶最小花费的金额数，再选择走一步还是走两步。也就是说：dp[i]=min(cost[i-1],dp[i-2])+cost[i];
初始化：dp[i-1]=cost[i-1]; dp[i-2]=cost[i-2];（防越界）
dp的建表顺序：从右至左
返回值：min(dp[0],dp[1])

2.3.4 算法代码【解法二】

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        //状态表示dp[i]：以i位置为起点，到达楼顶的最小花费
        int[] dp = new int[n];
        //初始化
        dp[n - 1] = cost[n - 1];
        dp[n - 2] = cost[n - 2];
        for(int i = n - 3; i >= 0; i--) {
            //填表顺序 -> 从右往左
            //状态转移方程 --> 自身花费+后面俩台阶的最小花费
            dp[i] = cost[i] +Math.min(dp[i + 1], dp[i + 2]);
        }
        //返回值，考虑 从第一个台阶出发 or 从第二个台阶出发
        return Math.min(dp[0], dp[1]);
    }
}

2.4 题三：解码方法

. - 力扣（LeetCode）

2.4.1 算法原理

状态表示dp[i]：以i位置为结尾，解码方式的总数
状态转移方程：s[i]单独解码(成功/失败)+s[i]/s[i-1]组合解码(成功/失败)：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
初始化：①：if(s[0]!='0') dp[0]=1; ②：dp[1] -->1. s[1]单独解码 & 2. s[1]与s[0]组合解码
返回值：dp[n-1]

2.4.2 算法代码

class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        int n = s.length();
        char[] c = s.toCharArray();
        //状态表示dp[i]：以i位置为结尾，解码方式的总数
        int[] dp = new int[n];
        //初始化第一个位置
        if(c[0] != '0') dp[0]++;
        //当长度为1时
        if(n == 1) return dp[0];
        //初始化第二个位置
        if(c[0] != '0' && c[1] != '0') dp[1]++;//单独编码
        int t = ((c[0] - '0') * 10 + (c[1] - '0'));
        if(t >= 10 && t <= 26) dp[1]++;//组合编码
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            //单独编码
            if(c[i] != '0') dp[i] += dp[i - 1];
            //组合编码
            int tt = ((c[i - 1] - '0') * 10 + (c[i] - '0'));
            if(tt >= 10 && tt <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

2.4.3 初始化技巧

在编写代码时，我们发现了一个问题，我们在完成初始化工作时，非常的麻烦，初始化的代码占据了大量的篇幅，此时，我们可以使用初始化技巧 ---> dp数组在创建时多开辟一个节点。将初始化时的代码放进循环中(将要初始化的节点与普通节点一概而论)，在填dp表的时候完成初始化。

不过，因为多开辟了一个位置，所以在循环填dp表时也需要注意以下问题：

与原数组的下标映射关系发生了改变
注意虚拟节点的值(多开辟的那一个节点)，虚拟节点的值，要保证后面计算得到的结果是正确的。

在本题中，虚拟节点dp[0]的值应该为1；

原因：

当s[1]可与s[0]组合解码时，会这样计算：dp[2]+=d[2-2](s中的i为1，映射到新dp中i为2)
因为能够组合解码，所以虚拟节点dp[0]的值应为1

2.4.4 算法代码——初始化技巧使用

class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        //初始化技巧 --> 优化
        int n = s.length();
        char[] c = s.toCharArray();
        //状态表示dp[i + 1]：以i位置为结尾，解码方式的总数
        int[] dp = new int[n + 1];
        //处理虚拟节点里的值
        dp[0] = 1;
        //初始化第一个位置
        if(c[0] != '0') dp[1]++;
        for(int i = 2; i < n + 1; i++) {
            //单独编码
            if(c[i - 1] != '0') dp[i] += dp[i - 1];
            //组合编码
            int t = ((c[i - 1 - 1] - '0') * 10 + (c[i - 1] - '0'));
            if(t >= 10 && t <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

END