目录

1. 线段树基础

（1）什么是线段树

（2）线段树的拆分原理

（3）相关算法对比 

（4）线段树的使用前提

（5）线段树建树操作

（6）线段树单点修改

（7）线段树区间查询

 2. 区间修改：延迟标记与标记永久化

最后

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1. 线段树基础

（1）什么是线段树

        a. 线段树是：利用分治思想处理对一段序列进行大量区间操作（区间修改、区间查询）的数据结构；

        b. 线段树可以在 O ( n log n ) 的时间复杂度内，完成区间修改 / 区间查询操作；

        c. 线段树的叶节点即为原序列，内部节点除了左右儿子之外，还保存着其分管的某段区间信息，如：区间和、区间最值。显然，每个节点所分管的区间即为其为根的子树中所有节点。

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（2）线段树的拆分原理

        a. 将 [ 1, n ] 分解成若干特定的子区间；

        b. 将每个区间 [ L, R ] 都分解为少量特定的子区间；

        c. 通过对子区间的修改或统计，来实现快速对 [ L, R ] 区间的修改，统计。

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（3）相关算法对比 

算法 / 解决问题	区间求和	区间最大值	单点修改	区间修改
前缀和	√	×	×	×
树状数组	√	√	√	×
线段树	√	√	√	√

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（4）线段树的使用前提

        使用线段树的问题，必须符合区间加法：也就是通过合并区间的解，一定能得到问题的解。

        可以使用线段树问题举例：

        a. 数字和问题：总数字之和 = 左区间数字之和 + 右区间数字之和；

        b. 最大公约数：总 gcd = gcd（左区间 GCD，右区间 GCD）；

        c. 最大值问题：总最大值 = max（左区间最大值，右区间最大值）；

        不能用线段树求解问题举例：

        a. 众数：无法根据左右区间众数，得知总区间众数；

        b. 最长连续出现的字母：无法根据左右区间的最长连续出现的字母，得知总区间的解：

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（5）线段树建树操作

 

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（6）线段树单点修改

 

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（7）线段树区间查询

 

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 2. 区间修改：延迟标记与标记永久化

        add [ k ]：延迟标记（懒标记），编号为 k 的节点的所有子节点，都增加一个值。（注意：不包含当前的节点，当前的节点会立刻将和的增量计算出来）。

        当不向下递归时，当前节点就需要计算增量，并打上延迟标记。

        标记下放 ( pushdown )：当需要从有延迟标记的节点向下递归时，需要将当前的延迟标记下放到子节点，并清除当前延迟标记的值。

        pushup：回溯利用子节点更新父节点。

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最后

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