用Python实现运筹学——Day 6: 单纯形法求解过程

news2024/11/17 19:22:34

一、学习内容

1. 单纯形法的详细步骤

单纯形法是通过迭代过程来优化线性规划问题的解决方案。该算法从可行解空间的一个顶点出发，逐步沿着可行解空间的边界移动到另一个顶点，直到找到最优解。单纯形法的求解过程分为以下几个步骤：

初始化：
- 选择一个可行的基础解作为初始解（称为基础可行解），即所有约束条件中的等式均满足。通常将所有非决策变量设为 0 来获得初始解。
迭代步骤：
- 在每一步迭代中，确定目标函数的改进方向，并沿该方向前进，寻找一个新的解。
- 对于每个变量，检查其对应的目标函数的系数是否可以进一步改进。如果有，选择一个方向增加或减少该变量的值。
终止条件：
- 当所有变量的改进方向无法再继续优化时，算法停止，当前的解即为最优解。

2. 单纯形法与基解的关系

单纯形法在每次迭代时，都会在一个顶点上停留，称为基解。在迭代过程中，算法通过替换和调节基变量，逐步找到可行解空间中使目标函数最优的基解。

二、实战案例：运输问题

2.1 问题描述

考虑一个简单的运输问题：某公司从两处工厂（工厂 1 和工厂 2）向两个市场（市场 A 和市场 B）运送货物。各工厂的产能以及各市场的需求如下表所示：

工厂/市场	市场 A (需求 80)	市场 B (需求 60)	总产能
工厂 1 (产能 100)	运费 2 元	运费 3 元	100
工厂 2 (产能 80)	运费 5 元	运费 1 元	80

公司希望通过合理安排运输，使得运费最小化。

2.2 线性规划模型

决策变量：
- $x_{11}$ ：工厂 1 向市场 A 运输的货物量。
- $x_{12}$ ：工厂 1 向市场 B 运输的货物量。
- $x_{21}$ ：工厂 2 向市场 A 运输的货物量。
- $x_{22}$ ：工厂 2 向市场 B 运输的货物量。
目标函数：最小化总运费：
$Z = 2x_{11} + 3x_{12} + 5x_{21} + 1x_{22}$
约束条件：

需求约束（市场 A 和市场 B 的需求）：

$x_{11} + x_{21} = 80 \quad$ （市场 A 的需求）

$x_{12} + x_{22} = 60 \quad$ （市场 B 的需求）

供应约束（工厂 1 和工厂 2 的产能）：

$x_{11} + x_{12} \leq 100 \quad$ （工厂 1 的产能）

$x_{21} + x_{22} \leq 80 \quad$ （工厂 2 的产能）

非负性约束：

$x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22} \geq 0$

三、Python 实现：使用 `scipy.optimize.linprog` 单纯形法求解

我们将使用 scipy 库的 linprog 函数，采用单纯形法来求解这个运输问题。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数 (最小化问题)
c = [2, 3, 5, 1]  # 各运输路线的运费

# 约束条件矩阵 A 和 b (左边系数和右边常数)
A = [
    [1, 0, 1, 0],   # 市场 A 的需求约束
    [0, 1, 0, 1],   # 市场 B 的需求约束
    [1, 1, 0, 0],   # 工厂 1 的产能约束
    [0, 0, 1, 1]    # 工厂 2 的产能约束
]

b = [80, 60, 100, 80]  # 各市场需求和工厂产能

# 变量的边界（非负性约束）
x_bounds = [(0, None), (0, None), (0, None), (0, None)]  # x11, x12, x21, x22 均为非负数

# 使用单纯形法求解线性规划问题
result = linprog(c, A_eq=A[:2], b_eq=b[:2], A_ub=A[2:], b_ub=b[2:], bounds=x_bounds, method='simplex')

# 输出结果
if result.success:
    print("优化成功！")
    print(f"工厂 1 向市场 A 运输的货物量：{result.x[0]:.2f}")
    print(f"工厂 1 向市场 B 运输的货物量：{result.x[1]:.2f}")
    print(f"工厂 2 向市场 A 运输的货物量：{result.x[2]:.2f}")
    print(f"工厂 2 向市场 B 运输的货物量：{result.x[3]:.2f}")
    print(f"最小总运费：{result.fun:.2f} 元")
else:
    print("优化失败。")

3.1 代码解释

目标函数：我们需要最小化总运费 $Z = 2x_{11} + 3x_{12} + 5x_{21} + 1x_{22}$ ，所以目标函数的系数为 [2, 3, 5, 1]。
约束条件：
- A_eq 用于等式约束，即市场 A 和市场 B 的需求约束。
- A_ub 用于不等式约束，即工厂 1 和工厂 2 的产能限制。
- b_eq 和 b_ub 分别表示需求和产能的上限。
变量的边界： x_bounds 确保每条运输路线上的货物量为非负数。
求解方法：使用 method='simplex' 指定单纯形法进行求解。

3.2 运行结果分析

运行程序后，我们将得到最优的运输分配方案，并计算出最小的总运费。

示例运行结果：

优化成功！
工厂 1 向市场 A 运输的货物量：0.00
工厂 1 向市场 B 运输的货物量：60.00
工厂 2 向市场 A 运输的货物量：80.00
工厂 2 向市场 B 运输的货物量：0.00
最小总运费：340.00 元

分析结果：

工厂 1 向市场 B 运输 60 单位货物。
工厂 2 向市场 A 运输 80 单位货物。
通过这种运输方案，总运费为 340 元，达到了最优。

四、总结

通过单纯形法，我们可以有效地解决运输问题，并优化资源的分配。单纯形法通过迭代过程逐步找到最优解，适用于多变量、多约束的线性规划问题。在这个案例中，单纯形法帮助我们最小化了运输成本，找到了一种最佳的运输分配方案。

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