目录

传递函数模型与零极点

系统增益

---

《自动控制原理》胡寿松，第六版

传递函数模型与零极点

(3-61)所示的是系统的传递函数的分式形式。他一定可以化成（3-62）形式。

根据3-62的分母可以直接看出系统的特征根，不过要注意，3-62中的特征根si有可能是复数。

（3-61）也一定可以化成（3-64）的形式，3-64其实更友好，可以看到，他把分母化成了一次因式和二次因式，一次因式对应的特征根都是实数（这些实数可能是单根，也可能是多重根），二次因式对应的特征根都是共轭复数。

试想，为什么二次因式都是共轭复根？根据二次函数的求根公式：，根有且只有三种情况①两个不同的实数根、②2个相同的实根、③两个共轭复根。对于①②，这时的二次因式早就被分解为两个一次因式的乘积了，所以3-63中出现的二次因式，都是无法进行实数分解的。

式（3-67）是3-64或3-65做拉普拉斯反变换，得到的时域表达式，该表达式有3项。第一项对应3-65中的一次因式，第二三项对应3-65中的二次因式。这三项中出现的系数Aj、Bk、Ck，由求留数法可知，他们的值取决于3-64的分子中的零点。

不论线性系统多么复杂，系统传函的时域表达式一定可以写成3-67的形式。

而系统是否收敛于0，完全取决于e的指数部分，只与极点有关，与零点无关

3-64到3-65名字叫部分分式展开

系统增益

通俗讲，系统增益就是对系统施加值为1的阶跃输入时，系统的稳态输出值（也即t=∞时的系统输出值）。（前提系统是稳定的，不稳定的系统根本就存在稳态值）

求t=∞时的时域值，是比较困难的，但是对于稳定系统而言，根据laplace终值定理：

f(t)在t=∞的值和sF(s)在s=0时的值，是一样的。

阶跃输入信号的L变换，系统在阶跃输入Xi下的输出Xo对应的L变换就是：

为了使用L终值定理，在上式两边同*s后，得到：

这个结论好，原来t=∞的系统输出，就是系统传函在0处的值。

这也就解释了，为什么求系统增益，要先把传函化成【尾1标准型】了：

因为此时求G(0)特别好求：

，这就是系统增益了。

当然，用【首1标准型】比【尾1标准型】，稍微麻烦一点点，也还行