3. 函数极限与连续函数

3.4 闭区间上的连续函数

3.4.1 有界性定理

【定理3.4.1】$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界。
【证】用反证法，假设$f(x)$在$[a,b]$上连续，但是$f(x)$在$[a,b]$上无界：
将$[a,b]$分成两个子区间$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$，则$f(x)$至少在其中一个子区间无界，记它为$[a_1,b_1]$
再将$[a_1,b_1]$分成两个子区间$[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}],[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$，则$f(x)$至少在其中之一的子区间无界，记它为$[a_2,b_2]$
……
一直做下去得到闭区间套$\{[a_n,b_n]\}$，且$f(x)$在每一个$[a_n,b_n]$上都是无界的，由比区间套定理可知，$\exists \xi \in [a_n,b_n]$，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi$
由于$\xi \in [a_n,b_n]\subset [a,b]$且$f(x)$在$[a,b]$连续，所以$f(x)$在$\xi$点连续，即$f(x)$在$\xi$点的邻域内有界，即$\exists \delta >0,M>0,\forall x\in O(\xi ,\delta )\cap [a,b]$成立$|f(x)|\le M$
当$n$充分大时，$[a_n,b_n]\subset O(\xi ,\delta )\cap [a,b]$，
但是我们找到的这个闭区间上$f(x)$是无界的
与假设$f(x)$在$[a,b]$上无界矛盾
所以$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界。


【例】$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$上连续，但$f(x)$在$(0,1)$上无界。

3.4.2 最值定理

【定理3.4.2】$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$必能在闭区间$[a,b]$上取到最大值和最小值，即$\exists \xi \eta \in [a,b]$，使得$f(\xi )\le f(x)\le f(\eta ),\forall x\in [a,b]$
【证】由于 R f = { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ] } \textbf{R}_{f}=\{f(x)|x\in [a,b]\} Rf​={f(x)∣x∈[a,b]}是有界集，利用确界存在定理，令$\alpha =\inf {\text{R}}_f,\beta =\sup {\text{R}}_f$（$\alpha$是${\text{R}}_f$的下确界，$\beta$是${\text{R}}_f$的上确界）
现证$\exists \xi \in [a,b]$，使得$f(\xi )=\alpha$
$\alpha =\inf {\text{R}}_f,\forall x\in [a,b],f(x)\ge \alpha$
$\forall \epsilon >0,\exists x\in [a,b]$使得$f(x)<\alpha +\epsilon$（下确界加一个大于0的数就不是下界了）
取${\epsilon }_n=\frac{1}{n},\exists x_n\in [a,b]$，使得$\alpha \le f(x_n)<\alpha +\frac{1}{n}$
$x_n\in [a,b]$说明 { x n } \{x_{n}\} {xn​}是有界数列，有界数列必有收敛的子列，且收敛的子列的极限也在闭区间$[a,b]$中，设这个收敛子列是 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {xnk​​}
则$x_{n_k}\to \xi \in [a,b]$，即$\alpha \le f(x_{n_k})<\alpha +\frac{1}{n_k}$
令$k\to \infty$，由于$\underset{k\to \infty }{\lim }\alpha =\alpha ,\underset{k\to \infty }{\lim }(\alpha +\frac{1}{n_k})=\alpha$，故由数列极限的夹逼性定理可知$\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\underset{k\to \infty }{\lim }f(\xi )=\alpha$
又因为$f(x)$在$[a,b]$连续，即$f(\xi )=\alpha$
同理$\exists \eta \in [a,b]$，使得$f(\eta )=\beta$
证毕。

【例】$f(x)=x,x\in (0,1)$，$\alpha =\inf {\text{R}}_f=0,\beta =\sup {\text{R}}_f=1$，但是不存在$\xi ,\eta \in (0,1)$使得$f(\xi )=0,f(\eta )=1$

3.4.3 零点存在定理

【定理3.4.3】$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(a)f(b)<0$，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$.
【证】不失一般性，不妨设$f(a)<0,f(b)>0$
V = { x ∣ f ( x ) < 0 , x ∈ [ a , b ] } , a ⊂ V , b ⊄ V , ξ = sup ⁡ V \textbf{V}=\{x|f(x)<0,x\in[a,b]\},a\subset\textbf{V},b\not\subset\textbf{V},\xi=\sup \textbf{V} V={x∣f(x)<0,x∈[a,b]},a⊂V,b⊂V,ξ=supV（$\xi$是$\text{V}$的上确界，$\text{V}$是$f(x)<0$的$x$的集合）
由于$f(a)<0$，由$f(x)$在$[a,b]$连续，$\exists {\delta }_1>0$使得$f(x)<0,\forall x\in [a,a+{\delta }_1)$
由于$f(b)<0$，由$f(x)$在$[a,b]$连续，$\exists {\delta }_2>0$使得$f(x)>0,\forall x\in (b+{\delta }_1,b]$
所以$\xi \in (a,b)$，现在证$f(\xi )=0$
取$x_n\in \text{V},x_n\to \xi ,f(x_n)<0,f(\xi )=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\le 0$
若$f(\xi )<0,\exists \delta >0$，在$(\xi -\delta ,\xi +\delta )$上，$f(x)<0$，但是$\xi$是$\text{V}$的上确界，$\text{V}$是$f(x)<0$的$x$的集合，如果在$(\xi -\delta ,\xi )$上也有$f(x)<0$（$\xi -\delta$已经不是上确界，更不是上界）
与$\xi$是$\text{V}$的上确界的定义矛盾，所以$f(\xi )=0$


【例3.4.1】多项式$p(x)=2x^3-3x^2-3x+2$，求多项式大致有几个根。
【解】

多项式是在定义域上的连续函数，由零点存在定理，它在$(-2,0)$存在一个根，$(0,1)$存在一个根，$(1,3)$存在一个根
事实上$p(x)=2(x+1)(x-\frac{1}{2})(x-2)$


【例3.4.2】$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$f(x)$的值域$f([a,b])\subset [a,b]$，则$\exists \xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=\xi$（$\xi$称为$f$的不动点）。
【证】令$g(x)=f(x)-x$
$f([a,b])\subset [a,b]$，$b\le f(x)\le a,\forall x\in [a,b]$
$g(a)\ge 0,g(b)\le 0$
（1）$g(a)=0$则$\xi =a$；
（2）$g(b)=0$则$\xi =b$；
（3）$g(a)>0,g(b)<0$，由零点存在定理，$\exists \xi \in (a,b)$，使得$g(\xi )=0$，即$f(\xi )=\xi$

【注】若$f(x)$在$(a,b)$上连续，而$f((a,b))\subset (a,b)$，是否$f$也有不动点（在$(a,b)$上），结论是不一定的，举反例：$f(x)=\frac{x}{2}$在$(0,1)$上连续，$f((0,1))=(0,\frac{1}{2})$，但$f(x)=\frac{x}{2}$在$(0,1)$上没有不动点。