17. 称空间 $\Omega$ 中满足下述条件的集系为 $d$-系:

1. $\Omega \in \mathcal{D}$
2. 若 $A,B\in \mathcal{D}$ 且 $A\cap B=\varphi$, 则 $A+B\in \mathcal{D}$;
3. 若 $A\subset B,A,B\in \mathcal{D}$ ，则 $B-A\in \mathcal{D}$ 。

试证: $\pi$-系上的最小 $d$-系等于 $\pi$-系上的最小集代数. 即若 $\mathcal{C}$ 是 $\pi$-系, 则

$$\mathcal{D}(\mathcal{C})=\mathcal{F}(\mathcal{C})$$

其中 $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 和 $\mathcal{F}(\mathcal{C})$ 分别表示 $\mathcal{C}$ 上的最小 $d$-系和最小集代数.

要证明 $\pi$-系上的最小 $d$-系等于 $\pi$-系上的最小集代数，我们需要证明两个方向的包含关系：

1. $\mathcal{D}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{F}(\mathcal{C})$
2. $\mathcal{F}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{D}(\mathcal{C})$

证明 $\mathcal{F}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{D}(\mathcal{C})$：

1. 首先，我们知道 $\mathcal{C}$ 是一个 $\pi$-系，这意味着它满足 $\pi$-系的定义，即 $\Omega \in \mathcal{C}$ 并且对于任意的 $A,B\in \mathcal{C}$，有 $A\cap B\in \mathcal{C}$。

2. 根据 $d$-系的定义，$\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 是包含 $\mathcal{C}$ 的最小 $d$-系。这意味着 $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 包含 $\mathcal{C}$ 中的所有集合，并且满足 $d$-系的三个条件。

3. 由于 $\mathcal{C}$ 是 $\pi$-系，所以 $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 必须包含 $\mathcal{C}$ 中所有集合的并集、交集和差集。因此，$\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 至少包含 $\mathcal{C}$ 上的最小集代数。

4. 因此，$\mathcal{F}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{D}(\mathcal{C})$。

证明 $\mathcal{D}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{F}(\mathcal{C})$：

1. $\mathcal{F}(\mathcal{C})$ 是 $\mathcal{C}$ 上的最小集代数，这意味着它包含 $\mathcal{C}$ 并且对于任意的 $A,B\in \mathcal{F}(\mathcal{C})$，有 $A\cup B,A\cap B,A-B\in \mathcal{F}(\mathcal{C})$。

2. 显然，$\mathcal{F}(\mathcal{C})$ 满足 $d$-系的三个条件，则$\mathcal{F}(\mathcal{C})$是$d$-系。

3. 由于 $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ 是最小的 $d$-系。

4. 则，$\mathcal{D}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{F}(\mathcal{C})$。

结论：

由于我们已经证明了 $\mathcal{D}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{F}(\mathcal{C})$ 和 $\mathcal{F}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{D}(\mathcal{C})$，我们可以得出结论：

$$\mathcal{D}(\mathcal{C})=\mathcal{F}(\mathcal{C})$$

这意味着 $\pi$-系上的最小 $d$-系等于 $\pi$-系上的最小集代数。