前言
在前面我们已经学习了二叉树的基础操作，但是，仅仅是二叉树，没有太大的作用啊，存数据效果没有顺序表和链表好，那为啥还要学二叉树呢？
这不就来了嘛，给二叉树增加一些性质，作用不就出来了嘛。
本篇文章将介绍二叉树的进阶版本，给二叉树增加了搜索特性，搜索二叉树
搜索二叉树的概念和性质
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
注意：要求整棵左子树的值都小于根节点的值，而不仅仅是要求左节点的值小于根节点的值，对于右子树也是如此
ps:当然也可以处理成左子树大，右子树小，不过普遍来说，都是构成左子树小，右子树大的。
搜索二叉树的操作
这里我们先给一个数组，用这个数组的数据构成搜索二叉树
搜索二叉树的遍历
根据搜索二叉树的性质，我们知道，左子树的值全部都小于根节点的值，右子树的值全部都大于根节点的值。
所以，当我们采用中序遍历就可以得到有=升序的序列。
void INORDER(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
INORDER(root->_left);
cout << root->_val << " ";
INORDER(root->_right);
}
二叉搜索树的查找
假设要寻找的值是key
牢记搜索二叉树的性质，从根节点开始向下寻找，
当key > 当前节点的时候，去右子树寻找即可
当key < 当前节点的时候，去左子树寻找即可
找到了就返回true，没找到就返回false
bool find(const DataType& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_val)
{
cur = cur->_right;//大了就去右子树找
}
else if (key < cur->_val)//小了就去左子树找
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
注意：思考搜索二叉树查找的时间复杂度
是不是很多同学认为是O(logN)?
实际上并不是，应该查找高度次，但是高度就是logN了吗？
事实上，存在极端情况，二叉树会退化成单边二叉树，此时树的高度就是n - 1,
此时，时间复杂度是O(N)。
搜索二叉树的插入
记要插入值key
要插入首先要找到该在何处插入。
显然，这里的思路和查找类似
当key大了，就往右子树走
当key小了，就往左子树走
直到走到空的位置，可以插入。
找到位置后，用key构建一个新的节点，链接到到搜索树上去即可。
那么这里就需要寻找父节点了，所以，我们需要引入一个parent指针来标记父亲节点。
但是？究竟是插在父亲节点的左子树还是右子树呢？
去和父节点的值进行比较即可。
大于父节点的值，插在右边，小于父节点的值插在左边。
对于插入，如果搜索二叉树里面已经存在了该key值，那么就不重复插入，所以搜索二叉树就有了去重的特性
bool insert(const DataType& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (key > cur->_val)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_val)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;//已经有了，就不重复插入
}
}
搜索二叉树的删除
搜索二叉树最难的部分就是删除，这里需要仔细体会
对于删除节点，我们会发现树里面有三种节点
- 当前节点没有子节点
- 当前节点只有一个子节点
- 当前节点有两个子节点
对于这三种情况我们都需要进行思考。
- 当前节点没有子节点
此时我们只需要释放该节点，将父亲节点指向空即可 - 当前节点只有一个子节点
a. 左子树为空
将父亲节点指向右子树，释放当前节点即可
b. 右子树为空
将父亲节点指向左子树，释放当前节点即可 - 当前节点有两个子节点（最复杂的情况）
此时，我们就需要去找到一个合适的值，来替代当前节点。
很明显，这个值一定要大于左子树，小于右子树
那么，也就是，我们需要找到左子树的最大值，或者右子树的最小值来替代当前节点
这里我们以寻找右子树的最小值为例。
如何寻找右子树的最小值？
右子树的最小值一定在右子树的最左边，否则就会有更小的值（这里读者理解不了的话，可以画个图理解一下）
所以这里只需要设置一个指针rightMin，从cur->right开始一路向左，直到左子树为空停止。
此时rightMin就是右子树的最小值。
这是将rightMin的值给cur即可，然后删除rightMin节点
这里删除非常简单，只需要让rightMin的父亲的左指向rightMin的右即可。（所以需要引入rightMinP指针记录rightMin的父亲）
算法实现过程中的一些细节：
（1）首先对于第三种情况，我们去寻找右子树的最小节点，就是寻找右子树的最左边，但是如果右子树没有左节点怎么办？
比如这里要删除8，右子树没有左节点，此时要进行特判，让cur的右指向rightMin的右。
（2）对于1,2两种情况，需要父亲节点指向子节点的左或者右
但是，对于根节点来说，根节点没有父亲，就会出现空指针问题。
对于10这个节点就没有父亲节点，
那么此时就需要将root 指向 cur的右
右子树为空类似。
bool erase(const DataType& key)
{
if (_root == nullptr)
return false;
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (key > cur->_val)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_val)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了，开始删除
if (cur->_left == nullptr)
{
//左边为空
if (parent == nullptr)//特判一下
{
_root = cur->_right;
delete cur;
return true;
}
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
//右边为空
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
delete cur;
return true;
}
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
else
{
//两个节点都为空
Node* rightMin = cur->_right;
Node* rightMinP = cur;
//找右子树最小的节点
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_val = rightMin->_val;
if (rightMin == rightMinP->_right)
{
cur->_right = rightMin->_right;
}
else
{
rightMinP->_left = rightMin->_right;
}
delete rightMin;//这里不删cur
return true;
}
}
}
return false;//找不到返回false;
}
搜索二叉树的应用
搜索二叉树分为k型和kv型，上述就是以k型为例，当然，kv型类似，聪明的读者肯定能举一反三。
1、k型
K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
上面的例子就是k型，就不举例子了。
2、kv型
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
void TestBSTree3()
{
// 输入单词，查找单词对应的中文翻译
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("tree", "树");
dict.Insert("left", "左边、剩余");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("sort", "排序");
// 插入词库中所有单词
string str;
while (cin>>str)
{
BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
cout << "单词拼写错误，词库中没有这个单词:" <<str <<endl;
}
else
{
cout << str << "中文翻译:" << ret->_value << endl;
}
}
}
剩下的构造 ，析构，拷贝构造比较简单，这里就不讲解了。
