均方根误差 RMSE/RMS

定义

RMSE是观察值与真实值偏差的平方，对于一组观测值$y_i$ 和对应的真值 $t_i$
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-t_i)}\text{，其中n是观测次数}$$

意义

RMSE衡量了观测值与真值之间的平均误差大小，它对较大的误差更加敏感，因为误差是经过平方后再取平均和开方的。若误差大于1时，RMSE的值越小，说明观测值与真值之间的差异越小，模型的预测精度越高。反之，误差小于1时，同理

均方误差 MSE

定义

MSE是观测值与真值偏差的平方和与观测次数的比，对于一组观测值$y_i$ 和对应的真值$t_i$
$$MSE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-t_i{)}^2$$

意义

MSE衡量了观测值与真值之间的平均平方误差，它反映了模型的预测值与真实值之间的差异程度。MSE的值越小，说明模型的预测精度越高。反之，误差小于1时，同理

应用

RMSE 和 MSE 通常用于评估模型的预测精度，特别是在回归问题中。它们可以帮助我们比较不同模型的性能，选择最优的模型

标准差

定义

方差的算数平方根
标准差是一组数据偏离平均数的程度的一种度量。对于一组数据$x_i$
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}\text{,其中 μ 是平均数，n 是数据数量}$$

意义

标准差反映了数据的离散程度，标准差越大，说明数据的波动越大，离散程度越高；标准差越小，说明数据的波动越小，离散程度越低

用做衡量模型拟合的一个度量

方差

定义

方差是各个数据与平均数之差的平方值的平均数

$$D(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})$$

意义

差反映了数据偏离平均数的程度。方差越大，说明数据的波动越大，离散程度越高；方差越小，说明数据越集中在平均数附近，离散程度越低

一般用来计算样本的离散程度

正态分布

定义

1. 正态分布，也称高斯分布

2. 正态分布的曲线呈钟形

3. 

4. 

5. $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\text{其中μ 是均值，σ 是标准差}$$

许多自然现象和社会现象都近似服从正态分布，例如人的身高、体重、考试成绩

意义

1. 决定曲线的“胖瘦"
   1. 标准差越大，正态分布曲线越“胖”，数据的分散程度越大。这意味着数据在均值附近的集中度较低，更多的数据分布在离均值较远的位置。
   2. 标准差越小，正态分布曲线越“瘦”，数据的分散程度越小。数据更加集中在均值附近。
2. 概率关系
   1. 约68%的数据落在$[\mu -\sigma ,\mu -\sigma ]$
   2. 约95%的数据落在$[\mu -2\sigma ,\mu -2\sigma ]$
   3. 约99.7%的数据落在$[\mu -3\sigma ,\mu -3\sigma ]$

在正态分布中，三倍标准差是一个重要的概念，它在质量控制、统计推断和金融风险管理等领域都有广泛的应用

参考文章

方差、标准差、均方差、均方误差（MSE）区别总结 - 知乎 (zhihu.com)