昇思量子计算系列教程-Grover搜索算法

基于MindSpore Quantum的Grover搜索算法

概述

如果你听过量子计算，那么你一定听说过Grover搜索算法。1996年，Lov Grover [1] 提出了Grover搜索算法，它是一种利用量子状态的叠加性进行并行计算并实现加速的算法。Grover搜索算法被公认为是继Shor算法后的第二大量子算法，也是第一个被完整的实验实现的量子算法，它解决的是无序数据库搜索问题。1997年，Bennett [2] 等人证明，对于非结构化的量子搜索问题，至少需要 $\Omega(\sqrt{N})$ 次量子查询，因此Grover搜索算法对于该问题是渐进意义下的最优算法。

无序数据库搜索问题（Unordered Database Search problem）就是从一个海量元素的无序数据库中，找到某些满足要求的元素。由于数据库中元素的数量是巨大的且这些元素是无序排列的，所以，要验证给定的元素是否满足要求很容易，但反过来，要找到这些元素却不是一件容易的事。

求解无序数据库搜索问题（不妨假设只有一个目标搜索数据），经典算法所需的时间复杂度为 $\mathcal{O}(N)$ ，而Grover搜索算法所需的时间复杂度仅为 $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ ，相比经典算法具有平方加速，展示了量子计算的强大性能。此外，Grover搜索算法中用到的振幅扩大技巧，对许多启发式的经典搜索算法可以实现加速，因而具有广泛的应用。

本文档将会介绍Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindSpore Quantum实现该算法。

问题描述

我们需要在一组无序的 $N$ 元素集合（数据库）中进行搜索。将数据库中的元素与索引（从 $0$ 到 $N - 1$ 之间的整数）建立一一对应，我们关注于搜索这些元素的索引。考虑将该搜索问题表示为一个关于输入 $x$ 的函数 $f (x)$ ，其中 $x$ 为 $0$ 到 $N - 1$ 之间的整数。那么，函数 $f$ 定义为：

$\begin{equation} f(x)=\begin{cases}0,x\neq x_{target}\\\\ 1,x=x_{target} \end{cases} \end{equation}.$

同时假设搜索问题只有一个目标态 $|\omega\rangle$ 。Grover搜索算法的目标就是以极大的概率将 $|\omega\rangle$ 搜索出来。

Grover搜索算法的基本原理

Grover搜索算法的基本原理：首先通过 Hadamard 门产生均匀叠加态，然后反复调用Grover迭代（或称为 $G$ 算子），以放大目标项的概率振幅同时抑制非目标项的概率振幅（该方法称之为振幅放大），最后对末态进行测量，那么就能以极大的概率得到目标态 $|\omega\rangle$ 。

下面介绍Grover算法的主要步骤。

Step 1：数据库初始化

对 $|0\rangle^{\otimes n}$ 执行 $H^{\otimes n}$ 操作，使得数据库被初始为一个均匀叠加态，即

$|\psi_0\rangle=H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle.$

Step 2：Grover迭代

Grover迭代又可以分解为四步：

子步骤一

执行Oracle算子 $U_{\omega}$ ，翻转目标态 $|\omega \rangle$ 的相位。

为了将需要寻找的数据和其它的数据区别开，最简单的方法就是翻转目标态的相位（增加一个负号），此时我们需要构造一个Oracle算子 $U_{\omega}$ ，其作用如下：

$\begin{equation} U_{\omega}|x\rangle=\begin{cases} &|x\rangle,x\neq \omega&\\\\ -&|x\rangle,x=\omega& \end{cases} \end{equation}.$

由于当 $x=\omega$ 时， $f(\omega)=1$ ，那么 $U_{\omega}$ 的作用还可以表示成：

$U_{\omega}|x\rangle=(-1)^{f(x)}|x\rangle,$

其矩阵表达式为

$\begin{equation} U_{\omega}= \left[ \begin{array}{ccc} (-1)^{f(0)} & 0 & \dots & 0 \\\\ 0 & (-1)^{f(1)} & \dots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \dots & (-1)^{f(N-1)} \end{array} \right] \end{equation}.$

子步骤二

执行 $H^{\otimes n}$ 操作。

对 $n$ 位量子比特执行 $H^{\otimes n}$ 操作。

子步骤三

执行条件相移算子 $P$ 。

条件相移算子 $P$ 能使 $|0\rangle$ 态以外的每个态的相位都翻转，其作用如下：

$\begin{equation} P|x\rangle=\begin{cases}&|0\rangle,x= 0&\\\\ -&|x\rangle,x\neq0& \end{cases} \end{equation}.$

其矩阵表达式为

$\begin{equation} P = 2(|0\rangle\langle0|)^{\otimes n} - I_n = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\\\ 0 & -1 & \dots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \dots & -1 \end{array} \right] \end{equation}.$

子步骤四

再次执行 $H^{\otimes n}$ 操作。

至此，完整的 $G$ 算子可以表示为

$H^{\otimes n} [2(|0\rangle\langle0|)^{\otimes n} - I_n] H^{\otimes n} U_{\omega}.$

注意： $G$ 算子需要迭代的次数为

$\left[ \frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{N}{M}} \right] \sim O(\sqrt{N}),$

其中，M表示目标态的个数。

Step 3：测量

对末态进行 $\\{|0\rangle,|1\rangle\\}$ 基测量，就能以极大的概率得到目标态 $|\omega \rangle$ 。

Grover搜索算法的完整量子线路模型如下所示：

grover algorithm circuit

构造翻转量子比特相位的酉算子

通过上述介绍，我们发现，Grover搜索算法中最关键的部分就是存在可以翻转量子比特相位的酉算子，Oracle算子 $U_{\omega}$ 可以翻转目标态的相位，条件相移算子 $P$ 可以翻转 $|0\rangle$ 态以外的每个态的相位。

接下来，我们将构造可以翻转某一位量子比特相位的酉算子，定义如下：

from mindquantum.core.circuit import Circuit
from mindquantum.core.gates import Z

def bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits):   # 定义可以翻转某一位量子比特相位的函数
    s = [1 for i in range(1 << n_qubits)]
    for i in phase_inversion_qubit:
        s[i] = -1
    if s[0] == -1:
        for i in range(len(s)):
            s[i] = -1 * s[i]
    circuit = Circuit()
    length = len(s)
    cz = []
    for i in range(length):
        if s[i] == -1:
            cz.append([])
            current = i
            t = 0
            while current != 0:
                if (current & 1) == 1:
                    cz[-1].append(t)
                t += 1
                current = current >> 1
            for j in range(i + 1, length):
                if i & j == i:
                    s[j] = -1 * s[j]
    for i in cz:
        if i:
            if len(i) > 1:
                circuit += Z.on(i[-1], i[:-1])
            else:
                circuit += Z.on(i[0])

    return circuit

现在， bitphaseflip_operator() 函数就可以实现翻转某一位量子比特的相位，只需要输入需要翻转相位的目标量子态和量子比特总数即可。

举个例子，我们现在生成3量子比特的均匀叠加态，运行如下代码：

# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.circuit import UN
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.simulator import Simulator

n_qubits = 3                                 # 设定量子比特数为3
sim = Simulator('mqvector', n_qubits)        # 使用mqvector模拟器，命名为sim

circuit = Circuit()                          # 初始化量子线路，命名为circuit
circuit += UN(H, n_qubits)                   # 每位量子比特上执行H门操作

sim.apply_circuit(circuit)                   # 通过模拟器sim运行搭建好的量子线路circuit

circuit.svg()                                # 打印此时的量子线路circuit

从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功生成了3量子比特的均匀叠加态。

假设我们需要翻转 $|4\rangle$ 态的相位，只需调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数即可，运行如下代码：

# pylint: disable=W0104
sim.reset()                                                      # 重置模拟器sim维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>

phase_inversion_qubit = [4]                                      # 翻转|4>态的相位
operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)# 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数

circuit += operator                                              # 在量子线路circuit中添加翻转|4>态的相位所需的量子门

sim.apply_circuit(circuit)                                       # 通过模拟器sim再次运行搭建好的量子线路circuit

circuit.svg()                                                    # 打印此时的量子线路circuit

从运行的结果看到，发生相位翻转的 $|100\rangle$ 态即为我们希望相位翻转的 $|4\rangle$ 态。

假设我们需要翻转除 $|0\rangle$ 态以外的每个态的相位，运行如下代码：

# pylint: disable=W0104
n_qubits = 3                                                     # 设定量子比特数为3
sim1 = Simulator('mqvector', n_qubits)                           # 使用mqvector模拟器，命名为sim1

operator1 = bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits) # 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数，翻转除|0>态以外的每个态的相位，命名为operator1

circuit1 = Circuit()                                             # 初始化量子线路，命名为circuit1
circuit1 += UN(H, n_qubits)                                      # 每位量子比特上执行H门操作
circuit1 += operator1                                            # 在量子线路circuit1中添加翻转除|0>态以外的每个态的相位所需的量子门

sim1.apply_circuit(circuit1)                                     # 通过模拟器sim1运行搭建好的量子线路circuit1

circuit1.svg()                                                         # 打印此时的量子线路circuit1

从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功翻转除 $|0\rangle$ 态以外的每个态的相位。

也就是说，我们定义的函数bitphaseflip_operator()可以实现Grover搜素算法中的Oracle算子 $U_{\omega}$ 和条件相移算子 $P$ 。

利用MindSpore Quantum实现Grover搜素算法实例

实例1： $n = 3$ ， $|\omega\rangle=|2\rangle$ （单目标）

首先，我们需要定义 $G$ 算子，运行如下代码：

def G(phase_inversion_qubit, n_qubits):           # 定义Grover搜索算法中的G算子
    operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)
    operator += UN(H, n_qubits)
    operator += bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits)
    operator += UN(H, n_qubits)
    return operator

然后，我们根据Grover搜索算法的量子线路模型在MindSpore Quantum中搭建对应的量子线路：

# pylint: disable=W0104
from numpy import pi, sqrt

n_qubits = 3                                      # 设定量子比特数为3
phase_inversion_qubit = [2]                       # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|2>态的相位

N = 2 ** (n_qubits)                               # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit)                    # 计算出目标态的总个数

r = int(pi / 4 * sqrt(N / M))                     # 设定G算子迭代次数为r

sim2 = Simulator('mqvector', n_qubits)            # 使用mqvector模拟器，命名为sim2

circuit2 = Circuit()                              # 初始化量子线路，命名为circuit2
circuit2 += UN(H, n_qubits)                       # 每位量子比特上执行H门操作

for i in range(r):                                # 循环执行G算子r次
    circuit2 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)

sim2.apply_circuit(circuit2)                      # 通过模拟器sim2运行搭建好的量子线路circuit2

circuit2.svg()                                    # 打印此时的量子线路circuit2

从运行的结果看到， $|010\rangle$ 态的振幅为0.9722718241315036，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态 $|010\rangle$ ，运行如下代码进行测量：

# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.gates import Measure

sim2.reset()                                      # 重置模拟器sim2维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>

circuit2 += UN(Measure(), circuit2.n_qubits)      # 对量子线路circuit2中的每一位量子比特添加测量门

result = sim2.sampling(circuit2, shots=1000)      # 通过模拟器sim2对量子线路circuit2进行1000次的采样
result.svg()                                      # 打印采样结果

从运行的结果看到，1000次采样中有923次的采样结果为010（由于具有随机性，每次运行有略微差距），将其转化为10进制数，运行如下代码：

从运行的结果看到，我们成功地搜索出 $|2\rangle$ 态。

实例2： $n = 5$ ， $|\omega\rangle=|5\rangle$ 和 $|11\rangle$ （多目标）

实例1中实现的是单目标搜索，现在我们尝试实现多目标搜索。首先， $G$ 算子已经定义好了，我们只需设定量子比特数和需要翻转相位的目标态，然后搭建对应的量子线路即可，运行如下代码：

# pylint: disable=W0104
n_qubits = 5                                      # 设定量子比特数为5
phase_inversion_qubit = [5, 11]                   # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|5>态和|11>态的相位

N = 2 ** (n_qubits)                               # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit)                    # 计算出目标态的总个数

r = int(pi / 4 * sqrt(N / M))                     # 设定G算子迭代次数为r

sim3 = Simulator('mqvector', n_qubits)            # 使用mqvector模拟器，命名为sim3

circuit3 = Circuit()                              # 初始化量子线路，命名为circuit3
circuit3 += UN(H, n_qubits)                       # 每位量子比特上执行H门操作

for i in range(r):                                # 循环执行G算子r次
    circuit3 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)

sim3.apply_circuit(circuit3)                      # 通过模拟器sim3运行搭建好的量子线路circuit3

circuit3.svg()                                          # 打印此时的量子线路circuit3

从运行的结果看到， $|00101\rangle$ 和 $|01011\rangle$ 态的振幅均为0.6932961018664989，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态 $|00101\rangle$ 和 $|01011\rangle$ 态，运行如下代码进行测量：

# pylint: disable=W0104
sim3.reset()                                      # 重置模拟器sim3维护好的量子态，使得初始化的量子态为|00000>

circuit3 += UN(Measure(), circuit3.n_qubits)      # 对量子线路circuit3中的每一位量子比特添加测量门

result1 = sim3.sampling(circuit3, shots=1000)     # 通过模拟器sim3对量子线路circuit3进行1000次的采样
result1.svg()                                     # 打印采样结果