在这里，我们来深入探讨线性模型的相关内容，这章涵盖了从基础线性回归到更复杂的分类任务模型。我们会逐步分析其数学公式和实际应用场景。
3.1 基本形式
线性模型的核心是通过属性的线性组合来预测结果。具体形式为：
其中，w 是权重向量，代表每个属性的重要性，x 是输入特征，b 是偏置项。
3.2 线性回归
线性回归的目的是找到最合适的权重 www 和偏置 bbb，使得模型预测的值 f(x) 尽量接近真实值 y。通过最小化均方误差来实现这一目标，均方误差（MSE）定义为：
通过对 w 和 b 求导并令偏导数为0，可以得到最优的解。对于单属性问题：
多元线性回归的情况更加复杂，可以使用矩阵形式表示并通过最小二乘法求解，最终的闭式解为：
3.3 对数几率回归
对数几率回归（Logistic Regression）适用于二分类问题。通过一个可微函数（Sigmoid函数）将线性回归的预测值转换为概率：
这个函数将输入值映射到 000 到 111 之间，输出代表事件发生的概率。
对数几率回归的核心公式为：
左边的对数项称为“几率”，反映了样本作为正例的相对可能性。
3.4 线性判别分析 (LDA)
线性判别分析的目标是通过将样本投影到一条直线上进行分类，最大化类间的差异并最小化类内的差异。投影后的线性函数可以表示为：
其中 w 是投影方向，通过最大化以下目标函数求得：
其中 Sb 是类间散度矩阵，Sw是类内散度矩阵。通过求解可以得到最优的投影向量 w。
3.5 多分类学习
多分类任务可以通过将其分解为多个二分类任务来解决。常见的策略包括：
- OvO（One-vs-One）：将每两个类别进行配对，训练 N(N−1)/2 个分类器。
- OvR（One-vs-Rest）：每次将一个类别作为正例，其他类别作为反例，训练 N 个分类器。
- MvM（Many-vs-Many）：将多个类别组合为正类和反类，通过纠错输出码设计来优化分类器。
3.6 类别不平衡问题
在类别不平衡的场景下，直接训练模型可能导致分类性能偏向多数类。常用的方法包括：
- 欠采样：减少多数类样本。
- 过采样：增加少数类样本。
- 数据重采样：通过随机化样本来平衡类别。
以上内容涵盖了线性模型的关键部分，包括线性回归、对数几率回归、线性判别分析和多分类学习。它们在实际应用中被广泛用于分类与回归任务，同时可以通过正则化、采样等技术进一步优化模型的性能。
