文章目录
- 1. 并查集介绍
- 2. 并查集的实现
- 2.1 实现逻辑
- 2.2 isSameSet方法
- 2.3 union方法(小挂大优化)
- 2.4 find方法(路径压缩优化)
- 3. 并查集模板
1. 并查集介绍
定义：
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题（即所谓的并、查）。比如说，我们可以用并查集来判断一个森林中有几棵树、某个节点是否属于某棵树等
并查集的常见的方法:
| 方法 | 作用 |
|---|---|
| int find (int) | 作用就是查找一个元素所在大集合的代表元素, 返回这个元素 |
| boolean isSameSet (int, int) | 判断传入的两个元素是不是同属一个大集合, 返回T/F |
| void union (int, int) | 合并传入的两个元素所代表的大集团(注意不仅仅是这两个元素) |
并查集的时间复杂的要求就是实现上述的操作的时间复杂度都是O(1)
下面是关于并查集的一些常见的操作的图示
2. 并查集的实现
2.1 实现逻辑
不论是哈希表的机构还是list的顺序结构或者是其他的常见的数据结构, 都不可以做到时间复杂度是O(1)的这个指标, 我们直接介绍实现的方式 --> 通过一个father数组以及size数组
关于这两个数组的含义:
| 数组 | 含义 |
|---|---|
| father | 下标i代表的是元素的编号, father[i]代表的是他的父亲节点 |
| size | 下标i代表的是元素的编号, size[i]代表的是这个节点的孩子节点的个数(包括本身) |
初态就是这个样子, 每一个元素的父亲节点都是其本身, 也就是说每一个节点本身就是其所在集合的代表节点, 然后这个集合的大小就是1
下面我们执行操作
step1 : union(a, b)
step2 : union(c, a)
下面是图示(图解一下操作1, 操作2其实是同理的)
上面的图解也说明了很多问题, 我们的树形结构的挂载的方式是, 小挂大(小的树挂到大树上)
此时进行了union操作之后的逻辑结构就是左下角所示, 此时我们 {a,b} 共属于一个集合, 进行find操作的时候, find(a) 的结果是 b, find(b) 的结果也是 b, 此时size数组中a的值不会再使用了, 因为这时a不可能是领袖节点了, 也就是说这个数据是脏数据…
2.2 isSameSet方法
其实正常来说我们的isSameSet方法和union方法都需要调用find方法, 但是find方法中的路径压缩的技巧是比较重要的, 所以我们单独拎出来放后面说(这里假设已经实现好了), 实现也是比较简单的, 只需要找到这两个元素的代表领袖节点看是不是一个就可以了
//isSameSet方法
private static boolean isSameSet(int a, int b){
return find(a) == find(b);
}
2.3 union方法(小挂大优化)
解释一下小挂大概念, 在算法导论这本书中说到的是一种秩的概念, 本质上也是为了降低树(集团)的高度所做出的努力, 但这个不是特别必要的…, 也就是在两大集团合并的时候, 小集团(小数目的节点)要依附大集团而存在, 也就是合并的时候, 小集团要挂在大集团上面, 这样可以从一定程度上降低树的高度
代码实现如下
//union方法
private static void union(int a, int b){
int fa = find(a);
int fb = find(b);
if(fa != fb){
sets--;
if(size[fa] >= size[fb]){
father[fb] = fa;
size[fa] += size[fb];
}else{
father[fa] = fb;
size[fb] += size[fa];
}
}
}
2.4 find方法(路径压缩优化)
上面的union的小挂大优化, 其实不是特别必要的, 但是我们find方法中的路径压缩是一定要完成的, 如果没有路径压缩的话, 我们的时间复杂度的指标就不会是O(1)
路径压缩指的就是, 在find方法找到父亲节点的时候, 同时把我们的沿途所有节点的父亲节点都改为找到的父亲节点, 以便于操作的时候不用遍历一个长链去寻找父亲节点, 图解如下
假设我们执行find(a)操作, 就会如图所示把我们的沿途的所有节点的父亲节点都改为领袖节点e
我们借助的是stack栈结构, 或者是递归(其实就是系统栈)实现的
private static final int MAX_CP = 31;
private static final int[] father = new int[MAX_CP];
private static final int[] size = new int[MAX_CP];
private static final int[] stack = new int[MAX_CP];
//find方法(路径压缩的迭代实现)
private static int find1(int a){
int sz = 0;
while(father[a] != a){
stack[sz++] = a;
a = father[a];
}
while(sz > 0){
father[stack[--sz]] = a;
}
return father[a];
}
//find方法(路径压缩的递归实现)
private static int find(int a){
if(father[a] != a){
father[a] = find(father[a]);
}
return father[a];
}
3. 并查集模板
上面就是我们关于并查集最基本的分析, 我们提供几个测试链接测试一下
牛客并查集模板
//并查集的基本实现方式
import java.util.*;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.IOException;
public class Main {
private static final int MAXN = 1000001;
private static final int[] father = new int[MAXN];
private static final int[] size = new int[MAXN];
private static final int[] stack = new int[MAXN];
private static int cnt = 0;
private static void build(int sz) {
cnt = sz;
for (int i = 0; i <= cnt; i++) {
father[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
private static int find(int n) {
//下面就是扁平化(路径压缩的处理技巧)
int capacity = 0;
while (father[n] != n) {
stack[capacity++] = n;
n = father[n];
}
//开始改变沿途节点的指向
while (capacity > 0) {
father[stack[--capacity]] = n;
}
return father[n];
}
private static boolean isSameSet(int a, int b) {
return find(a) == find(b);
}
private static void union(int a, int b) {
//下面的设计就是小挂大的思想
int fa = find(a);
int fb = find(b);
if (fa != fb) {
if (size[fa] >= size[fb]) {
father[fb] = fa;
size[fa] += size[fb];
} else {
father[fa] = fb;
size[fb] += size[fa];
}
}
}
//我们使用的是高效率的io工具(使用的其实就是一种缓存的技术)
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);
PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {
int n = (int)in.nval;
build(n);
in.nextToken();
int m = (int)in.nval;
for (int i = 0; i < m; i++) {
in.nextToken();
int op = (int)in.nval;
in.nextToken();
int n1 = (int)in.nval;
in.nextToken();
int n2 = (int)in.nval;
if (op == 1) {
out.println(isSameSet(n1, n2) ? "Yes" : "No");
} else {
union(n1, n2);
}
}
}
out.flush();
out.close();
br.close();
}
}
洛谷并查集模板
//并查集的基本实现方式
import java.util.*;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.IOException;
public class Main {
private static final int MAXN = 100001;
private static final int[] father = new int[MAXN];
private static final int[] size = new int[MAXN];
private static final int[] stack = new int[MAXN];
private static int cnt = 0;
private static void build(int sz){
cnt = sz;
for(int i = 0; i <= cnt; i++){
father[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
private static int find(int n){
//下面就是扁平化(路径压缩的处理技巧)
int capacity = 0;
while(father[n] != n){
stack[capacity++] = n;
n = father[n];
}
//开始改变沿途节点的指向
while(capacity > 0){
father[stack[--capacity]] = n;
}
return father[n];
}
private static boolean isSameSet(int a, int b){
return find(a) == find(b);
}
private static void union(int a, int b){
//下面的设计就是小挂大的思想
int fa = find(a);
int fb = find(b);
if(fa != fb){
if(size[fa] >= size[fb]){
father[fb] = fa;
size[fa] += size[fb];
}else{
father[fa] = fb;
size[fb] += size[fa];
}
}
}
//我们使用的是高效率的io工具(使用的其实就是一种缓存的技术)
public static void main(String[] args) throws IOException{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);
PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
while(in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF){
int n = (int)in.nval;
build(n);
in.nextToken();
int m = (int)in.nval;
for(int i = 0; i < m; i++){
in.nextToken();
int op = (int)in.nval;
in.nextToken();
int n1 = (int)in.nval;
in.nextToken();
int n2 = (int)in.nval;
if(op == 2){
out.println(isSameSet(n1, n2) ? "Y" : "N");
}else{
union(n1, n2);
}
}
}
out.flush();
out.close();
br.close();
}
}
