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专栏导读
本专栏收录于《华为OD机试（JAVA）真题（E卷+D卷+A卷+B卷+C卷）》。
刷的越多，抽中的概率越大，私信哪吒，备注华为OD，加入华为OD刷题交流群，每一题都有详细的答题思路、详细的代码注释、3个测试用例、为什么这道题采用XX算法、XX算法的适用场景，发现新题目，随时更新，全天CSDN在线答疑。
一、题目描述
给定一个二维整数矩阵，要在这个矩阵中选出一个子矩阵，使得这个子矩阵内所有的数字和尽量大。我们把这个子矩阵称为最大子矩阵，子矩阵的选取原则是原矩阵中一块相互连续的矩形区域。
二、输入描述
输入的第一行包含2个整数n, m (1 <= n, m <= 10)，表示一个n行m列的矩阵，下面有n行，每行有m个整数，同一行中，每2个数字之间有1个空格，最后一个数字后面没有空格。所有的数字的在[-1000, 1000]之间。
三、输出描述
输出一行一个数字，表示选出的和最大的子矩阵内所有的数字和。## 四、测试用例
测试用例1：
1、输入
3 4
-3 5 -1 5
2 4 -2 4
-1 3 -1 3
2、输出
20
3、说明
选出的和最大的子矩阵是后3列的所有行，其和为：
5 -1 5
4 -2 4
3 -1 3
和为：(5 + (-1) + 5 + 4 + (-2) + 4 + 3 + (-1) + 3) = 20
测试用例2：
1、输入
4 4
-1 -1 -1 -1
-1 2 2 -1
-1 2 2 -1
-1 -1 -1 -1
2、输出
8
3、说明
选出的和最大的子矩阵是中间2x2的矩阵，即：
2 2
2 2
和为：(2 + 2 + 2 + 2) = 8
五、解题思路
1、问题理解
给定一个二维整数矩阵，要求选出一个矩形区域（子矩阵），使得其中的数字和尽可能大。这个问题可以看作是一个二维最大子数组和问题的扩展版本，类似于在一维数组中找到最大子数组和的问题。
2、卡德恩算法
卡德恩算法的核心思想是使用动态规划，通过维护一个局部最优解来逐步构造全局最优解，在一维数组中找到和最大的连续子数组。
一维数组中寻找最大子数组和的经典算法。时间复杂度为O(n)，动态规划思想通过记录当前的最大和，逐步遍历数组并更新全局最大值。
在二维矩阵中，可以通过固定上下边界，将二维问题转化为多个一维问题，并用Kadane’s算法在每个转换后的一维数组中求解最大子数组和。
3、具体步骤：
- 通过固定上下边界，将二维问题化简为多个一维问题。具体来说，对于每对上下边界top和bottom，计算边界内每一列的和，形成一个一维数组temp。
- 然后对该一维数组temp使用Kadane’s算法，求出这一维数组中的最大子数组和，这相当于当前上下边界之间的最大子矩阵和。
- 不断枚举所有可能的上下边界，并记录全局最大值。
4、时间复杂度
枚举上下边界的时间复杂度为O(n2)，每次求解一维子数组和的时间复杂度为O(m)，因此总时间复杂度为O(n2 * m)。由于n和m均不超过10，算法复杂度是可以接受的。
5、空间复杂度
需要一个大小为m的临时数组temp[]来存储每次上下边界之间的列和。除此之外，算法没有额外的空间开销，空间复杂度为O(m)。
六、Java算法源码
public class OdTest01 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 读取矩阵的行数和列数
int n = sc.nextInt(); // 行数
int m = sc.nextInt(); // 列数
int[][] matrix = new int[n][m];
// 读取矩阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
matrix[i][j] = sc.nextInt();
}
}
// 计算最大子矩阵的和
System.out.println(maxSubmatrixSum(matrix, n, m));
}
// 使用Kadane's算法扩展版来求解最大子矩阵的和
private static int maxSubmatrixSum(int[][] matrix, int n, int m) {
int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 初始化最大和为最小值
// 临时数组，用来存储每一列的和
int[] temp = new int[m];
// 枚举每一对上下边界
for (int top = 0; top < n; top++) {
// 清空temp数组，重新计算
for (int i = 0; i < m; i++) {
temp[i] = 0;
}
// 枚举下边界
for (int bottom = top; bottom < n; bottom++) {
// 累加每一列的元素
for (int i = 0; i < m; i++) {
temp[i] += matrix[bottom][i];
}
// 使用Kadane's算法找出一维数组的最大子数组和
int currentMaxSum = kadane(temp, m);
// 更新全局最大和
maxSum = Math.max(maxSum, currentMaxSum);
}
}
return maxSum;
}
// Kadane算法，求一维数组的最大子数组和
private static int kadane(int[] array, int size) {
int maxEndingHere = array[0];
int maxSoFar = array[0];
for (int i = 1; i < size; i++) {
// 动态规划，比较当前元素和之前的最大和
maxEndingHere = Math.max(array[i], maxEndingHere + array[i]);
// 更新全局最大和
maxSoFar = Math.max(maxSoFar, maxEndingHere);
}
return maxSoFar;
}
}
七、效果展示
1、输入
3 3
0 1 0
1 1 1
0 1 0
2、输出
5
3、说明
矩阵如下：
0 1 0
1 1 1
0 1 0
选出的和最大的子矩阵是整个矩阵，和为：0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 5
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