算法导论（第3版）

news2025/1/9 2:16:42

第一部分基础知识

第2章算法基础

2.1 插入排序

伪代码：

INSERTION-SORT(A)
1 for j = 2 to A.length
2     key = A[j]
3     // Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j -1].
4     i = j - 1
5     while i > 0 and A[i] > key
6         A[i + 1] = A[i]
7         i = i - 1
8     A[i + 1] - key

循环不变式： 在for 循环的每次迭代的开始，包含元素A[1…j - 1]的子数组构成了当前排序号的左手中的牌，剩余的子数组A[j + 1… n]对应于仍在桌子上的牌堆。事实上，元素A[1… j - 1]就是原来在位置1 到 j - 1 的元素，但现在已按序排序。我们把A[1…j - 1]的这些性质形式地表示为一个循环不变式。

循环不变式的3条性质：
1）初始化：循环的第一次迭代之前，它为真；
2）保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真；
3）终止：在循环终止时，符合不变式的定义。

循环不变式可以证明插入排序的正确性。

升序排列（从低到高）实例：

#include <iostream>

// 定义一个模板函数，用于通用的比较操作
template <typename T>
void insertionSort(T arr[], int n) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        T key = arr[j];
        int i = j - 1;

        // 将大于key的元素逐步后移
        while (i >= 0 && arr[i] > key) {
            arr[i + 1] = arr[i];
            i = i - 1;
        }
        arr[i + 1] = key;  // 插入键值到正确位置
    }
}

// 测试函数，这里假设arr是一个整数数组
int main() {
    int numbers[] = {9, 5, 7, 1, 8, 6};
    int size = sizeof(numbers) / sizeof(numbers[0]);

    std::cout << "Original array: ";
    for (int num : numbers) {
        std::cout << num << " ";
    }

    insertionSort(numbers, size);

    std::cout << "\nSorted array: ";
    for (int num : numbers) {
        std::cout << num << " ";
    }

    return 0;
}

C++在线编程网站，wandbox 运行结果：
在这里插入图片描述
降序排列（从高到低）实例：

#include <iostream>

template <typename T>
void insertionSort(T arr[], int n) {
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        T key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j--;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

template <typename T>
void descendingInsertionSort(T arr[], int n) {
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        T key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] < key) { // 修改这里，使用小于号 `<`
            arr[j + 1] = arr[j];
            j--;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

int main() {
    int numbers[] = {5, 2, 9, 1, 7};
    double doubles[] = {4.8, 1.3, 6.7, 2.1, 8.5};

    insertionSort(numbers, sizeof(numbers) / sizeof(numbers[0]));
    descendingInsertionSort(doubles, sizeof(doubles) / sizeof(doubles[0]));

    std::cout << "Sorted integers in ascending order: ";
    for (const auto& num : numbers)
        std::cout << num << " ";
    std::cout << "\nSorted doubles in descending order: ";
    for (const auto& num : doubles)
        std::cout << num << " ";

    return 0;
}