表1提供了一项实验的数据，其中细菌培养物在有限营养基中以100个细菌开始；在定时记录下细菌数量随时间的变化。细菌数量 N N N 是时间 t t t 的函数： N = f ( t ) N = f(t) N=f(t)。
然而，假设生物学家改变了她的观点，开始对细菌群体达到不同水平所需的时间感兴趣。换句话说，她将时间 t t t 视为 N N N 的函数。这个函数称为 f f f 的反函数，记作 f − 1 f^{-1} f−1，读作“ f f f 的反函数”。因此， t = f − 1 ( N ) t = f^{-1}(N) t=f−1(N) 是细菌群体达到数量 N N N 所需的时间。可以通过从表1中从右到左读取数据，或参考表2来找到 f − 1 f^{-1} f−1 的值。例如， f − 1 ( 550 ) = 6 f^{-1}(550) = 6 f−1(550)=6，因为 f ( 6 ) = 550 f(6) = 550 f(6)=550。
表1 N N N 随时间 t t t 的变化
| t t t（小时） | N = f ( t ) N = f(t) N=f(t)（时间 t t t 时的细菌数量） |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 1 | 168 |
| 2 | 259 |
| 3 | 358 |
| 4 | 445 |
| 5 | 509 |
| 6 | 550 |
| 7 | 573 |
| 8 | 586 |
表2 t t t 随 N N N 的变化
| N N N | t = f − 1 ( N ) t = f^{-1}(N) t=f−1(N)（达到细菌数量 N N N 所需时间） |
|---|---|
| 100 | 0 |
| 168 | 1 |
| 259 | 2 |
| 358 | 3 |
| 445 | 4 |
| 509 | 5 |
| 550 | 6 |
| 573 | 7 |
| 586 | 8 |
并非所有函数都具有反函数。让我们比较一下函数 f f f 和 g g g，它们的箭头图示如图1所示。注意， f f f 从不取相同的值（任何两个在集合 A A A 中的不同输入都有不同的输出），而 g g g 则在两次取相同的值（ 2 2 2 和 3 3 3 都有相同的输出 4 4 4）。用符号表示：
g ( 2 ) = g ( 3 ) g(2) = g(3) g(2)=g(3)
但是，
f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) where x 1 ≠ x 2 f(x_1) \neq f(x_2) \quad \text{where} \quad x_1 \neq x_2 f(x1)=f(x2)wherex1=x2
具有与函数 f f f 相同性质的函数称为一一对应函数。
定义 1 如果一个函数 f f f 从不取相同的值，即：
f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) 当 x 1 ≠ x 2 时 f(x_1) \neq f(x_2) \quad \text{当} \quad x_1 \neq x_2 \quad \text{时} f(x1)=f(x2)当x1=x2时
那么这个函数被称为一一对应函数。
如果一条水平线与图形相交于不止一点，那么我们可以从图2看到存在某些
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2，使得
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
f(x_1) = f(x_2)
f(x1)=f(x2)。这意味着
f
f
f 不是一一对应函数。因此，我们有以下几何方法来确定一个函数是否是一一对应函数。
水平线测试 如果且仅如果没有水平线与图形相交超过一次，函数是一一对应函数。
例1 函数 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 是一一对应的吗？
解1 如果 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1=x2，那么 x 1 3 ≠ x 2 3 x_1^3 \neq x_2^3 x13=x23（两个不同的数不能有相同的立方值）。因此，根据定义 1，函数 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 是一一对应的。
解2 从图 3 我们可以看到，没有水平线会与函数 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 的图像相交超过一次。因此，根据水平线测试，函数 f f f 是一一对应的。
例2 函数 g ( x ) = x 2 g(x) = x^2 g(x)=x2 是一一对应的吗？
解1 这个函数不是一一对应的，因为，例如：
g ( 1 ) = 1 = g ( − 1 ) g(1) = 1 = g(-1) g(1)=1=g(−1)
因此，1 和 -1 有相同的输出。
解2 从图4我们可以看到，有水平线与函数 g g g 的图像相交超过一次。因此，根据水平线测试，函数 g g g 不是一一对应的。
定义 2 设 f f f 是一个定义域为 A A A、值域为 B B B 的一一对应函数。那么它的反函数 f − 1 f^{-1} f−1 的定义域是 B B B、值域是 A A A，且定义如下：
f − 1 ( y ) = x ⟺ f ( x ) = y f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y f−1(y)=x⟺f(x)=y
对于任何 y ∈ B y \in B y∈B。
这个定义说明，如果
f
f
f 将
x
x
x 映射为
y
y
y，那么
f
−
1
f^{-1}
f−1 将
y
y
y 映射回
x
x
x。(如果
f
f
f 不是一一对应的，那么
f
−
1
f^{-1}
f−1 就不会是唯一确定的。) 图 5 中的箭头图说明了
f
−
1
f^{-1}
f−1 逆转了
f
f
f 的作用。请注意：
domain of f − 1 f^{-1} f−1 = range of f f f
range of f − 1 f^{-1} f−1 = domain of f f f
例如，函数 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 的反函数是 f − 1 ( x ) = x 1 / 3 f^{-1}(x) = x^{1/3} f−1(x)=x1/3，因为如果 y = x 3 y = x^3 y=x3，那么
f − 1 ( y ) = f − 1 ( x 3 ) = ( x 3 ) 1 / 3 = x f^{-1}(y) = f^{-1}(x^3) = (x^3)^{1/3} = x f−1(y)=f−1(x3)=(x3)1/3=x
注意事项 请不要将 f − 1 f^{-1} f−1 中的“−1”误认为是指数。因此，
f − 1 ( x ) ≠ 1 f ( x ) f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} f−1(x)=f(x)1
倒数 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1 应写作 [ f ( x ) ] − 1 [f(x)]^{-1} [f(x)]−1。
例3 如果 f ( 1 ) = 5 f(1) = 5 f(1)=5， f ( 3 ) = 7 f(3) = 7 f(3)=7，并且 f ( 8 ) = − 10 f(8) = -10 f(8)=−10，找到 f − 1 ( 7 ) f^{-1}(7) f−1(7)， f − 1 ( 5 ) f^{-1}(5) f−1(5)，和 f − 1 ( − 10 ) f^{-1}(-10) f−1(−10)。
解 根据 f − 1 f^{-1} f−1 的定义，我们有：
f − 1 ( 7 ) = 3 because f ( 3 ) = 7 f − 1 ( 5 ) = 1 because f ( 1 ) = 5 f − 1 ( − 10 ) = 8 because f ( 8 ) = − 10 \begin{align*} f^{-1}(7) &= 3 \quad \text{because} \quad f(3) = 7\\ f^{-1}(5) &= 1 \quad \text{because} \quad f(1) = 5\\ f^{-1}(-10) &= 8 \quad \text{because} \quad f(8) = -10 \end{align*} f−1(7)f−1(5)f−1(−10)=3becausef(3)=7=1becausef(1)=5=8becausef(8)=−10
图 6的示意图清楚地显示了在此例中，如何通过
f
−
1
f^{-1}
f−1 来逆转
f
f
f 的效果。
字母 x x x 通常用作自变量，因此当我们关注 f − 1 f^{-1} f−1 而不是 f f f 时，通常会在定义2中交换 x x x 和 y y y 的角色，并写为：
f − 1 ( x ) = y ⟺ f ( y ) = x (3) f^{-1}(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad f(y) = x \tag{3} f−1(x)=y⟺f(y)=x(3)
通过在定义2中代入 y y y 并在 (3) 中代入 x x x，我们得到以下消去方程：
f − 1 ( f ( x ) ) = x for every x in A f ( f − 1 ( x ) ) = x for every x in B \begin{align*} f^{-1}(f(x)) &= x \quad \text{for every x in A}\\ f(f^{-1}(x)) &= x \quad \text{for every x in B} \end{align*} f−1(f(x))f(f−1(x))=xfor every x in A=xfor every x in B
第一个消去方程表示，如果我们从 x x x 开始，应用 f f f，然后应用 f − 1 f^{-1} f−1，我们会回到 x x x，即我们开始的地方（参见图7的机器图）。因此 f − 1 f^{-1} f−1 撤消了 f f f 的操作。第二个方程表示 f f f 撤消了 f − 1 f^{-1} f−1 的操作。
例如，如果 f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3，那么 f − 1 ( x ) = x 1 / 3 f^{-1}(x) = x^{1/3} f−1(x)=x1/3，因此消去方程变为：
f − 1 ( f ( x ) ) = ( x 3 ) 1 / 3 = x f ( f − 1 ( x ) ) = ( x 1 / 3 ) 3 = x \begin{align*} f^{-1}(f(x)) &= (x^3)^{1/3} = x\\ f(f^{-1}(x)) &= (x^{1/3})^3 = x \end{align*} f−1(f(x))f(f−1(x))=(x3)1/3=x=(x1/3)3=x
这些方程仅说明立方函数和立方根函数在连续应用时相互抵消。
5 如何求一个一对一函数 f f f 的反函数
步骤 1 写 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)。
步骤 2 尽可能把方程解为 x x x 关于 y y y 的表达式。
步骤 3 要将 f − 1 f^{-1} f−1 表示为 x x x 的函数，交换 x x x 和 y y y。结果方程为 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)。
例4 求函数 f ( x ) = x 3 + 2 f(x) = x^3 + 2 f(x)=x3+2 的反函数。
解答 根据步骤 (5)，我们首先写成：
y = x 3 + 2 y = x^3 + 2 y=x3+2
然后我们解这个方程的 x x x：
x 3 = y − 2 x = y − 2 3 \begin{align*} x^3 &= y - 2\\ x &= \sqrt[3]{y - 2} \end{align*} x3x=y−2=3y−2
最后，我们交换 x x x 和 y y y：
y = x − 2 3 y = \sqrt[3]{x - 2} y=3x−2
因此，反函数为：
f − 1 ( x ) = x − 2 3 f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 2} f−1(x)=3x−2
交换 x x x 和 y y y 来求反函数的原理也给了我们从函数 f f f 的图像中得到反函数 f − 1 f^{-1} f−1 图像的方法。由于 f ( a ) = b f(a) = b f(a)=b 当且仅当 f − 1 ( b ) = a f^{-1}(b) = a f−1(b)=a，点 ( a , b ) (a, b) (a,b) 在 f f f 的图像上当且仅当点 ( b , a ) (b, a) (b,a) 在 f − 1 f^{-1} f−1 的图像上。但是，我们通过将 ( a , b ) (a, b) (a,b) 关于直线 y = x y = x y=x 反射得到点 ( b , a ) (b, a) (b,a)（见图8）。
因此，如图9所示：
反函数 f − 1 f^{-1} f−1 的图像是通过将函数 f f f 的图像关于直线 y = x y = x y=x 反射得到的。
例5 在同一个坐标系中画出 f ( x ) = − 1 − x f(x) = \sqrt{-1 - x} f(x)=−1−x 及其反函数的图像。
解 首先我们画出曲线 y = − 1 − x y = \sqrt{-1 - x} y=−1−x（抛物线 y 2 = − 1 − x y^2 = -1 - x y2=−1−x 的上半部分，或者 x = − y 2 − 1 x = -y^2 - 1 x=−y2−1），然后我们将其关于直线 y = x y = x y=x 反射，得到反函数 f − 1 f^{-1} f−1 的图像。（参见图10。）为了检查我们的图像，注意反函数 f − 1 f^{-1} f−1 的表达式是 f − 1 ( x ) = − x 2 − 1 , x ≥ 0 f^{-1}(x) = -x^2 - 1, x \geq 0 f−1(x)=−x2−1,x≥0。因此， f − 1 f^{-1} f−1 的图像是抛物线 y = − x 2 − 1 y = -x^2 - 1 y=−x2−1 的右半部分，这从图10看来是合理的。
反函数的微积分
现在让我们从微积分的角度来看反函数。假设函数 f f f 是既一对一又连续的。我们认为连续函数是图像没有中断的函数（它只由一部分组成）。由于通过关于直线 y = x y = x y=x 反射 f f f 的图像可以得到 f − 1 f^{-1} f−1 的图像，且 f − 1 f^{-1} f−1 的图像也没有中断（参见图9），因此我们可以期望 f − 1 f^{-1} f−1 也是一个连续函数。
这个几何论证并没有证明以下定理，但至少使该定理看起来合理。
6 定理 如果 f f f 是定义在一个区间上的一对一的连续函数，那么它的反函数 f − 1 f^{-1} f−1 也是连续的。
现在假设 f f f 是一个一对一的可微函数。几何上，我们可以认为可微函数是没有拐角或折痕的图像函数。我们通过反射函数 f f f 的图像关于直线 y = x y = x y=x 来获得 f − 1 f^{-1} f−1 的图像，因此 f − 1 f^{-1} f−1 的图像也没有拐角或折痕。因此，我们期望 f − 1 f^{-1} f−1 也是可微的（除了切线是垂直的点）。事实上，我们可以通过几何论证来预测 f − 1 f^{-1} f−1 在给定点的导数值。
在图11中展示了 f f f 和它的反函数 f − 1 f^{-1} f−1 的图像。如果 f ( b ) = a f(b) = a f(b)=a，那么 f − 1 ( a ) = b f^{-1}(a) = b f−1(a)=b，并且 ( f − 1 ) ′ ( a ) (f^{-1})'(a) (f−1)′(a) 是 f − 1 f^{-1} f−1 的图像在点 ( a , b ) (a, b) (a,b) 的切线斜率，即 Δ y / Δ x \Delta y / \Delta x Δy/Δx。通过反射 y = x y = x y=x 的直线，我们交换了 x x x 和 y y y 坐标。因此，反射后的直线 ℓ \ell ℓ（即 ( b , a ) (b, a) (b,a) 处 f − 1 f^{-1} f−1 图像的切线）斜率为 Δ x / Δ y \Delta x / \Delta y Δx/Δy。因此，直线 L L L 的斜率是 ℓ \ell ℓ 斜率的倒数，也就是：
( f − 1 ) ′ ( a ) = Δ y Δ x = 1 Δ x / Δ y = 1 f ′ ( b ) (f^{-1})'(a) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x / \Delta y} = \frac{1}{f'(b)} (f−1)′(a)=ΔxΔy=Δx/Δy1=f′(b)1
7 定理 如果 f f f 是一对一的可微函数，其反函数为 f − 1 f^{-1} f−1，且 f ′ ( f − 1 ( a ) ) ≠ 0 f'(f^{-1}(a)) \neq 0 f′(f−1(a))=0，则反函数在 a a a 处可微，并且
( f − 1 ) ′ ( a ) = 1 f ′ ( f − 1 ( a ) ) (f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))} (f−1)′(a)=f′(f−1(a))1
证明 按照公式2.1.5写出导数的定义：
( f − 1 ) ′ ( a ) = lim x → a f − 1 ( x ) − f − 1 ( a ) x − a (f^{-1})'(a) = \lim_{{x \to a}} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x - a} (f−1)′(a)=x→alimx−af−1(x)−f−1(a)
如果 f ( b ) = a f(b) = a f(b)=a，那么 f − 1 ( a ) = b f^{-1}(a) = b f−1(a)=b。如果我们令 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)，那么 f ( y ) = x f(y) = x f(y)=x。因为 f f f 是可微的，所以它是连续的，因此根据定理6， f − 1 f^{-1} f−1 也是连续的。于是当 x → a x \to a x→a 时， f − 1 ( x ) → f − 1 ( a ) f^{-1}(x) \to f^{-1}(a) f−1(x)→f−1(a)，即 y → b y \to b y→b。因此，
( f − 1 ) ′ ( a ) = lim x → a f − 1 ( x ) − f − 1 ( a ) x − a = lim y → b y − b f ( y ) − f ( b ) = lim y → b 1 f ( y ) − f ( b ) y − b = 1 lim y → b f ( y ) − f ( b ) y − b = 1 f ′ ( b ) = 1 f ′ ( f − 1 ( a ) ) \begin{align*} (f^{-1})'(a) &= \lim_{{x \to a}} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x - a} = \lim_{{y \to b}} \frac{y - b}{f(y) - f(b)}\\ &= \lim_{{y \to b}} \frac{1}{\frac{f(y) - f(b)}{y - b}} = \frac{1}{\lim_{y \to b}\frac{f(y) - f(b)}{y - b}} \\ &= \frac{1}{f'(b)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))} \end{align*} (f−1)′(a)=x→alimx−af−1(x)−f−1(a)=y→blimf(y)−f(b)y−b=y→blimy−bf(y)−f(b)1=limy→by−bf(y)−f(b)1=f′(b)1=f′(f−1(a))1
注1 将 a a a 替换为任意数 x x x，我们得到：
( f − 1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} (f−1)′(x)=f′(f−1(x))1
如果我们写 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)，那么 f ( y ) = x f(y) = x f(y)=x，因此公式8用莱布尼兹符号表示为：
d y d x = 1 d x d y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} dxdy=dydx1
注2 如果预先知道 f − 1 f^{-1} f−1 是可微的，那么其导数可以通过隐式微分更容易地计算。如果 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)，则 f ( y ) = x f(y) = x f(y)=x。对 f ( y ) = x f(y) = x f(y)=x 的方程对 x x x 进行隐式微分，记住 y y y 是 x x x 的函数，并使用链式法则，我们得到：
f ′ ( y ) d y d x = 1 f'(y) \frac{dy}{dx} = 1 f′(y)dxdy=1
因此：
d y d x = 1 f ′ ( y ) = 1 d x d y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} dxdy=f′(y)1=dydx1
例6 虽然函数 y = x 2 y = x^2 y=x2, x ∈ R x \in \mathbb{R} x∈R 不是一对一的，因此没有反函数，但我们可以通过限制它的定义域使其成为一对一的函数。例如，函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2, 0 ≤ x ≤ 2 0 \leq x \leq 2 0≤x≤2, 是一对一的（通过水平线测试），其定义域为 [ 0 , 2 ] [0, 2] [0,2]，值域为 [ 0 , 4 ] [0, 4] [0,4]。（参见图12。）因此 f f f 有一个反函数 f − 1 f^{-1} f−1，其定义域为 [ 0 , 4 ] [0, 4] [0,4]，值域为 [ 0 , 2 ] [0, 2] [0,2]。
无需计算 ( f − 1 ) ′ ( 1 ) (f^{-1})'(1) (f−1)′(1) 的公式，我们仍然可以计算 ( f − 1 ) ′ ( 1 ) (f^{-1})'(1) (f−1)′(1)。由于 f ( 1 ) = 1 f(1) = 1 f(1)=1，我们有 f − 1 ( 1 ) = 1 f^{-1}(1) = 1 f−1(1)=1。并且 f ′ ( x ) = 2 x f'(x) = 2x f′(x)=2x。因此根据定理7，我们有：
( f − 1 ) ′ ( 1 ) = 1 f ′ ( f − 1 ( 1 ) ) = 1 f ′ ( 1 ) = 1 2 (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2} (f−1)′(1)=f′(f−1(1))1=f′(1)1=21
在这种情况下，很容易显式地找到 f − 1 f^{-1} f−1。事实上， f − 1 ( x ) = x f^{-1}(x) = \sqrt{x} f−1(x)=x, 0 ≤ x ≤ 4 0 \leq x \leq 4 0≤x≤4。[通常我们可以使用(5)给出的方法。] 然后 ( f − 1 ) ′ ( x ) = 1 2 x (f^{-1})'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (f−1)′(x)=2x1，因此 ( f − 1 ) ′ ( 1 ) = 1 2 (f^{-1})'(1) = \frac{1}{2} (f−1)′(1)=21，这与前面的计算结果一致。函数 f f f 和 f − 1 f^{-1} f−1 的图像在图13中绘制。
例7 如果 f ( x ) = 2 x + cos x f(x) = 2x + \cos x f(x)=2x+cosx，求 ( f − 1 ) ′ ( 1 ) (f^{-1})'(1) (f−1)′(1)。
解 注意到 f f f 是一对一的，因为
f ′ ( x ) = 2 − sin x > 0 f'(x) = 2 - \sin x > 0 f′(x)=2−sinx>0
因此 f f f 是递增的。为了使用定理7，我们需要知道 f − 1 ( 1 ) f^{-1}(1) f−1(1)，可以通过观察得到：
f ( 0 ) = 1 ⇒ f − 1 ( 1 ) = 0 f(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}(1) = 0 f(0)=1⇒f−1(1)=0
因此，
( f − 1 ) ′ ( 1 ) = 1 f ′ ( f − 1 ( 1 ) ) = 1 f ′ ( 0 ) = 1 2 − sin 0 = 1 2 (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2 - \sin 0} = \frac{1}{2} (f−1)′(1)=f′(f−1(1))1=f′(0)1=2−sin01=21
