【一元二次方程的根】
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = {\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x=2a−b±b2−4ac
△ = b 2 − 4 a c △ = b^2-4ac △=b2−4ac
其中根的判别式 △ > 0 ，有两个实根 △>0，有两个实根 △>0，有两个实根
其中根的判别式 △ ≥ 0 ，有实根 △≥0，有实根 △≥0，有实根
其中根的判别式 △ = 0 ，有两个相等的实根 △=0，有两个相等的实根 △=0，有两个相等的实根
其中根的判别式 △ < 0 ，无实根 △<0，无实根 △<0，无实根
【一元二次方程的根▪韦达定理】
x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a x_1 = {\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x1=2a−b+b2−4ac、 x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x_2 = {\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x2=2a−b−b2−4ac、
x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2 = -\frac{b}{a} x1+x2=−ab
x 1 ∗ x 2 = c a x_1*x_2 = \frac{c}{a} x1∗x2=ac
1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 x 2 {\frac{1}{x_1}}+{\frac{1}{x_2}} = {\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}} x11+x21=x1x2x1+x2
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
x 1 2 − x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) {x_1}^2-{x_2}^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2) x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)
x 1 − x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} x1−x2=(x1+x2)2−4x1x2
x 1 3 − x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − 3 x 1 x 2 ] {x_1}^3-{x_2}^3={(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]} x13−x23=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]
【技巧▪根号】
① y x + x y 互为倒数的两项之和 ≥ 2 ，且根号里的数 ≥ 0 ①{\sqrt\frac{y}{x}+\sqrt\frac{x}{y}}互为倒数的两项之和≥2，且根号里的数≥0 ①xy+yx互为倒数的两项之和≥2，且根号里的数≥0
②只有当 y ≥ 0 ， x > 0 时，才有 y x = y x ②只有当y≥0，x>0时，才有 {\sqrt\frac{y}{x}}={\frac{\sqrt y}{\sqrt x}} ②只有当y≥0，x>0时，才有xy=xy
【技巧▪函数】
①一次函数 y = k x + b （ k ≠ 0 ）图像为一条直线 ①一次函数y=kx+b（k≠0）图像为一条直线 ①一次函数y=kx+b（k=0）图像为一条直线
【二次函数▪图像】
模型： y = a x 2 + b x + c 模型：y=ax^2+bx+c 模型：y=ax2+bx+c
代入 x = 0 求图像与 y 轴交点 代入x=0求图像与y轴交点 代入x=0求图像与y轴交点。
抛物线与 y 轴交点的纵坐标 = 抛物线在 y 轴“截距”，就是 c 的值 抛物线与y轴交点的纵坐标 = 抛物线在y轴“截距”，就是c的值 抛物线与y轴交点的纵坐标=抛物线在y轴“截距”，就是c的值
c > 0 时，抛物线与 y 轴正半轴相交 c>0时，抛物线与y轴正半轴相交 c>0时，抛物线与y轴正半轴相交
c < 0 时，抛物线与 y 轴负半轴相交 c<0时，抛物线与y轴负半轴相交 c<0时，抛物线与y轴负半轴相交
代入 y = 0 求图像与 x 轴交点 代入y=0求图像与x轴交点 代入y=0求图像与x轴交点。
y = x 2 + 4 x − 5 = 0 、 ( x − 5 ) ( x + 1 ) = 0 、 x = 5 或 x = − 1 y = x^2+4x-5 =0、(x-5)(x+1)=0、x=5或x=-1 y=x2+4x−5=0、(x−5)(x+1)=0、x=5或x=−1
抛物线与 x 轴的交点 = 对应二次方程的根 抛物线与x轴的交点 = 对应二次方程的根 抛物线与x轴的交点=对应二次方程的根
【抛物线开口方向和大小】
a > 0 , 抛物线开口向上 a>0,抛物线开口向上 a>0,抛物线开口向上
a < 0 , 抛物线开口向下 a<0,抛物线开口向下 a<0,抛物线开口向下
a 越接近于 0 ，抛物线开口越大 a越接近于0，抛物线开口越大 a越接近于0，抛物线开口越大
【抛物线对称轴】
①它们纵坐标相等 y 1 = y 2 = y ①它们纵坐标相等y_1=y_2=y ①它们纵坐标相等y1=y2=y
②到对称轴距离相等，横坐标满足 x 1 + x 2 2 = − b 2 a ②到对称轴距离相等，横坐标满足 {\frac{x_1+x_2}{2}}= -{\frac{b}{2a}} ②到对称轴距离相等，横坐标满足2x1+x2=−2ab
【二次函数▪求最值】
【立方乘法公式】
立方和公式： a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
立方差公式： a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
【平方差公式】
平方差公式： a 2 + b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2 + b^2 = (a + b) (a - b) a2+b2=(a+b)(a−b)
【不等式▪两边同乘负号，不等式符号相反】
已知： x > 3 、 y < 5 x>3 、 y<5 x>3、y<5
y < 5 = − y > − 5 y<5 = -y>-5 y<5=−y>−5
x + y = x − y > 3 − 5 x+y = x-y>3-5 x+y=x−y>3−5
无论符号方向，不等式两边都不能相减。
不等式两边符号相同（同>或同<），才能相加。
【不等式▪取倒数】
a > b > 0 , 那么 1 a < 1 b a>b>0,那么{\frac{1}{a}<\frac{1}{b}} a>b>0,那么a1<b1
a > 0 > b , 那么 1 a > 1 b a>0>b,那么{\frac{1}{a}>\frac{1}{b}} a>0>b,那么a1>b1
0 > a > b , 那么 1 a < 1 b 0>a>b,那么{\frac{1}{a}<\frac{1}{b}} 0>a>b,那么a1<b1
【不等式▪两边平方】
a ， b ≥ 0 , 那么 a > b = a 2 > b 2 a，b≥0,那么{a>b = a^2>b^2} a，b≥0,那么a>b=a2>b2
【算数均值和几何均值】
算数均值举例: 1 + 3 2 = 2 {\frac{1+3}{2}=2} 21+3=2 <其中 x n 为 n 个实数 x_n为n个实数 xn为n个实数>
几何均值举例: 1 ∗ 3 = 3 {\sqrt{1*3}=\sqrt{3}} 1∗3=3(几个数相乘，开几次方)<其中 x n 为 n 个正实数 x_n为n个正实数 xn为n个正实数>
【算数均值➖几何均值>0】
a + b 2 − a b = a + b − 2 a b 2 = ( a ) 2 + ( b ) 2 − 2 a b 2 = ( a − b ) 2 2 ≥ 0 {\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2-2\sqrt{ab}}{2}={\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2}}≥0 2a+b−ab=2a+b−2ab=2(a)2+(b)2−2ab=2(a−b)2≥0
∴ a + b 2 ≥ a b ∴{\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}} ∴2a+b≥ab
均值定理
对于任何 n 个正实数 x 1 , x 2 . . . . . . x n , 有 x 1 + x 2 + . . . . . . x n n ≥ n x 1 x 2 . . . . . . x n 对于任何n个正实数x_1,x_2......x_n,有{\frac{x_1+x_2+......x_n}{n}≥^n\sqrt{x_1x_2......x_n}} 对于任何n个正实数x1,x2......xn,有nx1+x2+......xn≥nx1x2......xn
且仅当 x 1 = x 2 = . . . . . . x n 时，等号成立（ x i > 0 ， i = 1 , . . . . n ） 且仅当x_1=x_2=......x_n时，等号成立（x_i>0，i=1,....n） 且仅当x1=x2=......xn时，等号成立（xi>0，i=1,....n）
说人话：几个整数的算数平均值总是大于它的几何均值！
两种形式：
①求和的最小值： x 1 + x 2 + . . . . . . x n ≥ n ∗ n x 1 x 2 . . . . . . x n x_1+x_2+......x_n ≥n*^n\sqrt{x_1x_2......x_n} x1+x2+......xn≥n∗nx1x2......xn
②求乘积的最大值： x 1 x 2 . . . . . . x n ≤ ( x 1 + x 2 + . . . . . . x n n ) n x_1x_2......x_n≤(\frac{x_1+x_2+......x_n}{n})^n x1x2......xn≤(nx1+x2+......xn)n
①两个正代数式乘积为定值，则它们的和有最小值，当两式相等时可取得最小值。
②做题中常数不参与均值不等式运算，否则无法取到最小值。
