文章目录
- 引言
- 一、图的概念
- 二、图的存储结构
- 2.1 邻接矩阵
- 2.1.1 成员变量与默认成员函数
- 2.1.2 GetIndex
- 2.1.3 AddEdge
- 2.1.4 Print
- 2.2 邻接表
- 2.2.1 结点
- 2.2.2 成员变量与默认成员函数
- 2.2.3 GetIndex
- 2.2.4 AddEdge
- 2.2.5 Print
- 总结
引言
数据结构世界——图（Graph）
一、图的概念
图是一种非线性结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。
有向图（directed graph）与无向图（undirected graph）：在有向图中，<x,y>和<y,x>是两条不同的有向边；在无向图中，(x,y)和(y,x)指的是同一条边。
完全图（complete graph）：在无向图中，任意两点有边相连，则为无向完全图；在有向图中，任意两点有两条方向相反的边相连，则为有向完全图。
度（degree）：与顶点关联的边数。在有向图中，度 = 入度 + 出度；在无向图中，度 = 入度 = 出度。
权（weight）：边具有的属性。带权图又称为网络（network）。
路径长度：在无权图中，路径长度是指此路径上边的条数；在有权图中，路径长度是指此路径上边的权值之和。
简单路径与回路（cycle）：一条路径上各顶点均不重复，则为简单路径；一条路径上首尾顶点重合，则为回路或环。
子图（subgraph）：一个图的顶点集和边集都属于另一个图，那么这个图便称为另一个图的子图。
连通图（connected graph）与连通分量（connected component）：连通图是一种无向图，要求任意两点都有路径可达。连通分量是非连通图的极大连通子图。
强连通图与强连通分量：强连通图是一种有向图，要求任意两点都有双向路径可达。强连通分量是非强连通图的极大连通子图。
生成树（spanning tree）：连通图的极小连通子图称为该图的生成树。
二、图的存储结构
图由顶点和边构成，而顶点用数组存储即可，唯一值得讨论的便是边的存储方式。以下介绍两种最常见的边存储方式。
2.1 邻接矩阵
2.1.1 成员变量与默认成员函数
template<class V, class W, W W_MAX = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{
public:
Graph()
{}
Graph(const V* v, int n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
_vertexs.push_back(v[i]);
_indexMap[v[i]] = i;
}
_edges.resize(n, vector<W>(n, W_MAX));
}
private:
vector<V> _vertexs;
map<V, int> _indexMap;
vector<vector<W>> _edges;
};
细节：
- V代表顶点类型，W代表权值类型，W_MAX代表权值的正无穷，Direction代表图是否有向。
- _vertexs存储顶点，_indexMap存储顶点与下标的映射，_edges存储每两个顶点所对应边的权值。
图的创建方式：
1、IO输入——在线oj常用
2、文件写入
3、手动添加边——便于调试
2.1.2 GetIndex
int GetIndex(const V& v)
{
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
细节：获取下标额外设计一个函数，防止传入不存在的顶点，增强程序的健壮性。
2.1.3 AddEdge
void _AddEdge(int srci, int dsti, const W& w)
{
_edges[srci][dsti] = w;
//若为无向图
if (!Direction)
{
_edges[dsti][srci] = w;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
int srci = GetIndex(src);
int dsti = GetIndex(dst);
_AddEdge(srci, dsti, w);
}
细节：
- 添加边，便是在矩阵对应位置赋上权值，若为无向图则反方向也要添加。
- 这里拆出一个子函数，是方便后续直接通过顶点下标进行添加边。
2.1.4 Print
void Print()
{
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << ":" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < _edges.size(); ++i)
{
for (int j = 0; j < _edges[0].size(); ++j)
{
if (_edges[i][j] == W_MAX)
{
printf("%4c", '*');
}
else
{
printf("%4d", _edges[i][j]);
}
}
cout << endl;
}
}
细节：为了美观性，将W_MAX表示为*，同时用printf进行对齐控制。
2.2 邻接表
2.2.1 结点
struct EdgeNode
{
int _dsti;
W _w;//边的权值
EdgeNode<W>* _next;
EdgeNode(int dsti, const W& w)
: _dsti(dsti)
, _w(w)
, _next(nullptr)
{}
};
细节：
- _dsti表示目标点的下标，_w表示到达目标点的边的权值。
- 目标点是与当前点直接相连的。
2.2.2 成员变量与默认成员函数
template<class V, class W, bool Direction = false>
class Graph
{
typedef EdgeNode<W> Node;
public:
Graph(const V* v, int n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
_vertexs.push_back(v[i]);
_indexMap[v[i]] = i;
}
_edges.resize(n, nullptr);
}
private:
vector<V> _vertexs;
map<V, int> _indexMap;
vector<Node*> _edges;
};
细节：
- V代表顶点类型，W代表权值类型，Direction代表图是否有向。
- _vertexs存储顶点，_indexMap存储顶点与下标的映射，_edges存储每个顶点所连的边的信息。
2.2.3 GetIndex
int GetIndex(const V& v)
{
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
细节：获取下标额外设计一个函数，防止传入不存在的顶点，增强程序的健壮性。
2.2.4 AddEdge
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
int srci = GetIndex(src);
int dsti = GetIndex(dst);
Node* node1 = new Node(dsti, w);
node1->_next = _edges[srci];
_edges[srci] = node1;
//若为无向图
if (!Direction)
{
Node* node2 = new Node(srci, w);
node2->_next = _edges[dsti];
_edges[dsti] = node2;
}
}
细节：添加边，便是在矩阵对应位置赋上权值，若为无向图则反方向也要添加。
2.2.5 Print
void Print()
{
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << ":" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < _edges.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << "->";
Node* cur = _edges[i];
while (cur)
{
cout << cur->_dsti << "->";
cur = cur->_next;
}
cout << "nullptr" << endl;
}
}
总结
邻接矩阵：适合处理稠密图，空间换时间
- 查询边关系非常快速
- 但空间效率低
邻接表：适合处理稀疏图，空间使用高效
- 插入删除操作高效
- 但查询性能相对较慢
