【AI学习】陶哲轩在 2024 年第 65 届国际数学奥林匹克（IMO）的演讲：AI 与数学

陶哲轩在 2024 年第 65 届国际数学奥林匹克关于AI 和数学的演讲，很有意思。陶哲轩的讲话语速太快了，足见其聪明！

AI用于数学的一些方面：
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陶哲轩介绍到刚刚被数学家接受并开始普及的方法：形式化证明辅助工具。
形式化证明辅助工具是用于验证论证是否真正正确的语言，可以验证某个论点是否真实，是否可以从数据中得出结论。

现在，我们已经摸索出了一种更好的工作流程来实现形式化。
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现在，我们使用一种更加现代化的证明辅助语言，叫做Lean。

团队协作证明复杂数学定理的工作流程，那就是先编写一个称为“蓝图”的详细证明计划，将整个证明分解为数百个小步骤。每个步骤可以单独形式化，然后再将它们整合在一起，这样你就可以将一个庞大的论证分解成许多小块。先编写这个蓝图，然后团队中的其他人可以对论据的不同步骤的不同部分进行形式化。
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另一项开发工具，是将Lean语言编写的证明转换回人类可读的形式。
比如一个有关拓扑的证明：

陶哲轩使用的一个形式化证明，也使用了之前舒尔茨的蓝图计划

陶哲轩认为，这是将来解决数学问题的主要方法。

现在，有一些大型的数学形式化证明项目，比如：
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关于机器学习的应用：

这个机器学习得到一个黑箱，然后从这个黑箱就可以分析哪些主要的输入的作用，最终发现3个不变量作用比较大。而这3个不变量，与人类之前的预期是不一样的。

这正是机器学习在数学中越来越多被使用的一种方式，虽然它不能直接帮你解决问题，但它能提供很多有用的线索，帮你找到问题的关联。不过，任然需要人类建立这些联系。

最后讲大语言模型：
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然后吐槽了GPT4：

这个问题不是 2022 年国际奥数竞赛的原始问题，而是一个简化版本。他们测试了数百道IMO击败的问题，成功率只有1%，论文里的这个是精心挑选的恰巧能做对的。
当然，陶哲轩也说了，这也非常了不起。

然后说了大模型经常不会一些简单的问题：
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GPT可以作为一个很好的交流工具，启发你漏掉的一些想法。

希望AI能够直接完成证明，距离还比较远，更多是辅助工具。
还有一个方向，希望AI能够非常好的生成有价值的猜想。比如前面讲的结理论。现在还不知道具体做，部分原因是我们缺乏庞大的数据集，但是这是未来一个可能的实现方向。

还有一个方向。因为证明定理是如此繁琐和艰难的过程，我们一次只能证明一个定理，如果你效率很高，可能一次能证明两三个。但是有了 AI，你可以设想一下未来的情况，我们不是试图解决一个问题，而是处理一类类似的1000个问题，然后告诉AI，尝试用这个方法解决这 1000 个问题，然后报告结果，哦，我能用这种技术解决 35% 的问题。那么另一种技术呢？我能解决这个百分比的问题。或者如果结合这些方法，又能解决多少问题？你可以开始探索问题的空间，而不是一个接一个地解决问题。这是你现在根本无法做到的事情，或者是你需要几十年时间，通过数十篇论文慢慢搞清楚各种技术能做什么，不能做什么。但是有了这些工具，你真的可以开始做规模前所未有的数学研究。所以，未来将会非常令人兴奋。

我们仍然会以传统方式证明定理。事实上，我们必须这样做，因为如果我们自己都不知道如何做这些事情，就无法引导这些 AI。但是我们将能够做很多现在无法做到的事情。
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转载一下微博@宝玉xp老师的总结

最近陶哲轩在 2024 年第 65 届国际数学奥林匹克上，做了一次 AI 和数学的演讲，非常精彩，从数学使用计算计算机的历史开始讲起，一直讲到大语言模型，干货相当多，尤其适合对数学有兴趣的同学。

（对数学没那么感兴趣的同学只想看 AI 部分的建议直接跳到 41 分的位置开始观看）

先摘录几个冷知识：

我们使用机器做数学计算已经有数千年，最早的机器辅助计算可能是罗马人，然后是中国的算盘
二战时就有人肉“计算机”，计算弹道和其他任务，多位女孩子，因为男士们在打仗，所以那时候的计算基本单位不是GPU，而是kilogirl-hour——“千名女孩工作一小时的计算量”
现在，数学家们使用一种现代化的证明辅助编程语言，叫做 Lean。在 Lean 中有一个核心的数学库，通过众包的方式开发的，本科数学课程中看到的内容，比如微积分基础、群论基础或者拓扑学等等，这些都已经被形式化了，所以你不用从公理开始。
现在数学领域有一种团队协作证明复杂数学定理的工作流程，那就是先编写一个称为“蓝图”的详细证明计划，将整个证明分解为数百个小步骤。每个步骤可以单独形式化，然后再将它们整合在一起，这样你就可以将一个庞大的论证分解成许多小块。先编写这个蓝图，然后团队中的其他人可以对论据的不同步骤的不同部分进行形式化。

去年，陶哲轩和几位同事一起解决了一个组合数学问题。这是一个组合学的问题。大约20人在短短三周内完成了，使用了蓝图工具，参与的人中有概率论专家，甚至还有一些并非数学家的人，他们是程序员，但在解决这些小型拼图问题上非常擅长。每个人都挑选了一个觉得自己能做的小任务，并完成了它。

在数学领域，通常很难这么多人一起合作，一般最多可能五个人合作。因为在大项目上合作时，你必须相信每个人的数学都是正确的。但是，一旦超过一定规模，这就无法实现了。但现在借助 Lean 编译器，它能自动检查。团队成员无法上传任何编译不通过的内容，会被拒绝。因此，你可以与一些从未见过的人合作。

最后是讲大语言模型，首先陶哲轩就打脸了 GPT-4 的论文（我猜是微软那篇《GPT-4，通用人工智能的火花》），论文中号称 GPT-4 能解决国际数学奥林匹克问题，但实际上，这个问题不是 2022 年国际奥数竞赛的原始问题，而是一个简化版本，并且他们测试了几百道国际奥数竞赛问题，成功率只有1%，论文里的这个是精心挑选的恰巧能做对的。

并且陶哲轩提到了基于大语言模型的一些改进的方案：

比如 CoT（Chain of Thought），也就是 LLM 做简单的算术运算都做不对，但是如果让它一步步解释，可能就对了。还可以教 AI 一些解题技巧，比如尝试简单的例子，反证法，尝试逐步证明等。

比如让模型和编程语言或者工具连接，将大语言的输出结果交给 Wolfram 这样的专业数学工具或者 Python 这样的编程语言验证，并且迭代的进行修正和验证，直到得到正确的结果，这可以提升大语言模型生成的效果。

即使借助这些手段，大语言模型还远远不能解决大多数数学问题，更不用说数学研究问题了！

当然陶哲轩也没太过打击大家对于 AI 的信心，表示我们在 AI 上还是在不断的取得进展，还提到了他日常是怎么用 AI 的，比如说把 AI 当成灵感之源。

我曾遇到过一个问题，我尝试了几种方法，但都无法解决。于是，我尝试询问 GPT，你建议我使用什么其他方法来解决这个问题？GPT 给我提供了 10 种可能的方法，其中有 5 种我已经尝试过，或者明显没有帮助。的确，有几种方法并不实用。但其中有一种我还没尝试过的方法，那就是针对这个问题使用生成函数。当 GPT 建议我使用这种方法时，我意识到这就是我漏掉的正确方法。所以，将 GPT 视为一个交流伙伴，它确实具有一定的用处。

还有使用 GitHub Copilot 帮他写代码，让它自动生成下一步的证明结果，Copilot 的智能提示有 20% 的概率能生成正确的下一步结果。

例如我使用的一个叫 GitHub Copilot 的工具，你只需要写下一半的证明，它就会尝试猜测接下来的内容。大概有 20% 的情况下，它能猜到接近正确的答案。然后你就可以说，我接受这个答案。好的，那么在这种情况下，我正在试图证明这个陈述。灰色的部分是 Copilot 给出的建议。结果发现第一行完全没用。不过第二行，尽管你可能看不清楚，却真的解决了这个问题。所以，你不能盲目接受它的输入，因为这些代码未必能顺利编译。但如果你对代码的运作方式已经有所了解，这将大大节省你的时间。这些工具正在变得越来越好。现在如果一个证明只需要一两行，它们就能自动完成。现在已经有了这样的实验，即通过迭代地让 AI 提供证明，然后让编译器进行反馈，如果编译出错，就把错误信息反馈给 AI。通过这种方法，我们开始能够验证四五步长的证明。当然，一个大型的证明可能需要数万行。所以，我们还没有达到能够立即得到一个正式证明的程度。但是，这已经是一个相当有用的工具。

对于大家关心的问题： AI 在数学领域现在到了哪一个阶段？是否未来几年利用 AI 能直接解决数学问题？

陶哲轩也给出了他的看法：

我认为我们还远远没有达到这个阶段。如果我们专注于非常特定的问题，你可以定制专门的 AI 来处理一小部分问题。即便如此，它们也不是完全可靠的，但还是有用的。不过至少在接下来的几年里，它们基本上将是非常有用的辅助工具，超越了我们已经熟悉的暴力计算辅助。

他还提到了一些可能的 AI 能在数学领域提供帮助的方向：

AI 能够非常好地生成有价值的猜想

比如，我们已经看到了关于结理论的例子，它们已经可以推测出两个不同的统计量之间的关系。因此，我们希望能够创建大量的数据集，输入到 AI 中，它们就会自动找出各种不同的数学对象之间的有趣联系。虽然我们还不知道如何做到这一点，部分原因是我们没有这些庞大的数据集。但我认为这是未来可能实现的一个方向。

批量或者说规模化的证明大量数学定理

现在，因为证明定理是如此繁琐和艰难的过程，我们一次只能证明一个定理，如果你效率很高，可能一次能证明两三个。但是有了 AI，你可以设想一下未来的情况，我们不是试图解决一个问题，而是处理一类类似的1000个问题，然后告诉AI，尝试用这个方法解决这 1000 个问题，然后报告结果，哦，我能用这种技术解决 35% 的问题。那么另一种技术呢？我能解决这个百分比的问题。或者如果结合这些方法，又能解决多少问题？你可以开始探索问题的空间，而不是一个接一个地解决问题。这是你现在根本无法做到的事情，或者是你需要几十年时间，通过数十篇论文慢慢搞清楚各种技术能做什么，不能做什么。但是有了这些工具，你真的可以开始做规模前所未有的数学研究。所以，未来将会非常令人兴奋。

演讲环节结束前的最后一句话说的特别好：

我们仍然会以传统方式证明定理。事实上，我们必须这样做，因为如果我们自己都不知道如何做这些事情，就无法引导这些 AI。但是我们将能够做很多现在无法做到的事情。

这恰恰也是我们现在使用 AI 辅助编程的问题：如果我们自己都不知道如何构建软件，就很难引导好 AI 帮助我们生成高质量的代码。

尽管 AI 在数学和编程领域变得越来越有用，但人类的洞察力和创造力仍然是创作价值的关键。

另外后面提问环节也不错，第一个提问谈到了借助 AI 可以某种语言的形式化证明翻译成另一种语言。

第二个提问中陶哲轩谈到了他 13 岁上大学的事情，说明了他高中和大学都有优秀的导师指导，并且当时离家近还可以住家，否则不一定有很好的大学经历，也确实，13 岁孩子独自上大学，还是挺难的。

我有一些非常好的导师，无论是在高中还是本科阶段。我认为这并不是一场竞赛。也就是说，你应该在准备好上大学的时候再去。你不应该只是因为别人告诉你需要几年或者做些什么就去上大学。我觉得每个人的情况都不同。这对我来说非常重要。也就是说，我 13 岁就开始读本科了，而且是在离我家非常近的一所大学。所以我和我的父母住在一起，他们经常开车送我去大学上课。如果没有这些条件，我想我的大学经历不会那么好。所以这真的因人而异。也就是说，我在很年轻的时候就完成了大学学业，但并不是说每个人都应该这样做。这个问题没有唯一的答案。

第三个提问中谈到了如何选择研究课题的，一方面他有长期的课题，一方面他经常参加一些学术活动，在交流碰撞中自然能产生有趣的研究课题，如果不是和其他数学家的交流，两年前他从没想过自己会这么多地谈论 AI。

不闭门造车真的是很赞👍

我的厄尔多什数字是 2，这个很简单。至于选择研究主题，早在我职业生涯的初期，我的导师会向我建议一些问题。如今，很多时候问题是偶然出现的。我认为数学是一个非常社交的活动。你参加很多活动，例如，接下来我要去爱丁堡参加一个数学会议，我将和很多人交谈，他们都在研究 PFR 猜想这个领域。可能会有一些有趣的数学对话，也许还会产生一些研究问题。我确实有一些长期项目想要解决，但越来越多的问题是通过与其他数学家交流自然产生的。比如，两年前我从没想过自己会这么多地谈论 AI。我认为，未来需要更大的灵活性。当然，仍然会有一些人专攻某一个课题，成为某个领域的世界专家，但我认为会有越来越多的人会随着时间的推移而改变研究领域。他们会每隔几年通过与他人交谈发现新的有趣的数学课题。

注：厄尔多什数（Erdős number）是一个数学家之间的合作距离的概念，用来表示某位数学家与著名匈牙利数学家保罗·厄尔多什（Paul Erdős）之间在发表论文上的合作关系。具体来说，厄尔多什数是根据以下规则确定的：