CCPC赛后补题-线性基

news2024/9/22 13:33:54

模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3812

线性基可以用一个长度为$ \log_2N $的数组描述值域[1,N]，0的情况需要特判。

一个长度为64的线性基可以描述所有的64位整数。

在2024年CCPC网络赛中，考到了线性基。没学过，追悔莫及。

https://codeforces.com/gym/105336

在这里插入图片描述

原题需要在不污染高位的情况下，找到尽可能最优的二进制串修改低位，使得两个二进制串的最大值最小。

处理这种找最优串的问题，我能想到的只有字典树，而字典树在本题中非常乏力：会污染高位，必须要在O(1)的时间内找到最优串。

线性基模板的函数包括：

void ins(int x)：向线性基数组中插入x
bool check(int x)：判断x是否可以由线性基构造
int qmin()：查询当前线性基可以构造的最小值
int qmax()：查询当前线性基可以构造的最大值
void rebuild()：重构线性基，使得每一位尽可能少地影响其它位
int kth(int k)：查询线性基可以构造的第k小的数
int qrank(int x)：查询x是线性基可以构造的第几小的数

全局变量包括：

const int MN=64：线性基数组的长度
int p[MN]：存储线性基
int d[MN]：存储有效势，也就是数组p[]中的非0值
int cnt：线性基的维数、势、元素个数，同时为d[]的有效长度

线性基数组的第i in [0,MN-1]位，表示的是，最高位是第i位的01串。

当想要构造一个第i位是1的串时，可以异或，线性基数组的第i位。

在插入和查询时，从高位向低位枚举，因为高位的势会影响低位，对低位造成的影响在枚举到低位时，由低位的势处理。

线性基板子

talk is cheap show me the code：

#define int long long
using namespace std;
const int MN=64;

int p[MN],d[MN],cnt;

void ins(int x) {
	for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
		if(x>>i&1) {
			if(p[i])x^=p[i];
			else {
				p[i]=x;
				return;
			}
		}
	}
}
bool check(int x) {
	for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
		if(x>>i&1) {
			if(p[i])x^=p[i];
			else return false;
		}
	}
	return true;
}

int qmin() {
	for(int i=0; i<MN-1; i++) {
		if(p[i])return p[i];
	}
	return 0;
}

int qmax() {
	int res=0;
	for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
		res=max(res,res^p[i]);
	}
	return res;
}

void rebuild() {
	cnt=0;
	for(int i=MN-1; i>=0; i--)
		for(int j=i-1; j>=0; j--)
			if(p[i]&1ll<<j)
				p[i]^=p[j];
	for(int i=0; i<MN; i++)
		if(p[i])d[cnt++]=p[i];
}

int kth(int k) {
	if(k>=1ll<<cnt)return -1;
	int ans=0;
	for(int i=MN-1; i>=0; i--)
		if(k>>i&1)ans^=d[i];
	return ans;
}

int qrank(int x) {
	int ans=0;
	for(int i=cnt-1; i>=0; i--) {
		if(x>=d[i]) {
			ans+=1<<i;
			x^=d[i];
		}
	}
	return ans;
}