一、题目信息

题目：Physics-informed neural networks for solving flow problems modeled by the 2D Shallow Water Equations without labeled data

链接：物理信息神经网络用于解决由二维浅水方程建模的流动问题，无需标记数据- ScienceDirect --- Physics-informed neural networks for solving flow problems modeled by the 2D Shallow Water Equations without labeled data - ScienceDirect

二、摘要

This paper investigates the application of physics-informed neural networks (PINNs) to solve free-surface flow problems governed by the 2D shallow water equations (SWEs). Two types of PINNs are developed and analyzed: a physics-informed fully connected neural network (PIFCN) and a physics-informed convolutional neural network (PICN). The PINNs eliminate the need for labeled data for training by employing the SWEs, initial and boundary conditions as components of the loss function to be minimized. Results from a set of idealized and real-world tests showed that the prediction accuracy and computation time (i.e., training time) of both PINNs may be less affected by the resolution of the domain discretization when compared against solutions by a Finite Volume (FV) model. Overall, the PICN shows a better trade-off between computational speed and accuracy than the PIFCN. Also, our results for the idealized problems indicated that PINNs can provide more than 5 times higher prediction accuracy than the FV model, while the FV simulation with coarse resolution (e.g., 10 m) can provide sub-centimeter accurate (RMSE) solutions at least one order of magnitude faster than the PINNs. Results from a river flood simulation showed that PINNs delivered better speed-accuracy trade-off than the FV model in terms of predicting the water depth, while FV models outperformed the PINNs for predictions of total flow discharge.

本文研究了物理信息神经网络（PINNs）在求解二维浅水方程（SWES）自由表面流问题中的应用。开发和分析了两种类型的PINN：物理信息全连接神经网络（PIFCN）和物理信息卷积神经网络（PICN）。PINN通过采用SWE、初始和边界条件作为要最小化的损失函数的分量，消除了对用于训练的标记数据的需要。来自一组理想化和真实世界测试的结果表明，预测精度和计算时间（即，当与通过有限体积（FV）模型的解决方案相比时，两个PINN的分辨率（例如，训练时间）可以较少地受到域离散化的分辨率的影响。总的来说，PICN比PIFCN在计算速度和精度之间表现出更好的权衡。 此外对理想化问题的结果表明，PINN可以提供比FV模型高5倍以上的预测精度，而具有粗分辨率的FV模拟（例如，10 m）可以提供比PINN快至少一个数量级的亚厘米精度（RMSE）解决方案。从河流洪水模拟结果表明，PINN提供更好的速度-精度权衡比FV模型在预测水深，而FV模型优于PINN的预测总流量。

三、创新点

1、物理信息神经网络被开发用于求解浅水方程。
2、建议的网络可以在没有任何标记数据的情况下进行训练。
3、卷积神经网络优于全连接神经网络。

四、网络架构

 (a)提出了一种基于物理信息的全连接网络（PIFCN）的体系结构。(b)一个典型的全连接神经元网络（FCNN）的例子，它被用作PIFCN内的子网络来预测每个单独的输出;如图所示，显示了2个隐藏层，每个隐藏层有7个神经元，但这些超参数在本研究中有所不同。

 

一个基于CNN的模型结构的例子，用于解决自由表面流动问题。每个输出变量（ η 、 u 或 v ）由具有上述结构的单独CNN近似;所有子网络接收相同的输入。每个CNN有两个卷积层和一个隐藏层。

 五、实验

一、真实世界模拟

文章中的真实世界实验模拟了2005年11月27日至12月1日期间发生在意大利台伯河（Tiber River）的洪水事件。选择这一事件是为了测试物理信息神经网络（PINNs）在处理复杂的真实场景中的表现，这比文章之前描述的简化理想模型更加具有现实意义。

为了研究PINN在更复杂和现实问题下的性能，文章介绍了真实场景的模拟结果。所讨论的情景是2005年11月27日至12月1日发生在台伯河的洪水事件，它从亚平宁山脉流向意大利的第勒尼安海。该模拟中采用的河流河段长约6km，位于罗马市附近。台伯河在该地区的平均流量为267 m3s-1，而其200年一遇的峰值流量约为3200m3s-1。该区域包括6 km x2km的区域。模拟的事件持续时间为113h。使用的曼宁系数n的值与Morales-Hernández等人(2016年)和Shamkhalchian和de Almeida(2021年)相同;即主河道的n=0.035sm-1/3 和洪泛区的n=0.0446sm-1/3 。边界条件来自Shamkhalchian和de Almeida(2021)，对应于计算域边界处河流上游和下游断面的流量和水面高程的时间序列。初始条件 U(,y,t= 0) 由在5 m分辨率下进行的稳态条件下的FV模型的结果(Q=374m3s-1)定义。通过运行具有恒定边界条件的非稳态流模型足够长的时间(即t=10 h)以达到稳态，获得该稳态FV解。PINN从50，100和200m分辨率的数据集进行训练，而FV模型使用从10，25和50m分辨率的网格化数据生成的网格运行。PINN的训练集的相应时间分辨率为4h。批量大小设置为配置点总数的三分之一。对于这个测试用例，PICN的架构由2个卷积层（第一层和第二层分别有10个和40个通道）和1个具有100个神经元的全连接隐藏层组成。PIFCN的架构由3个完全连接的隐藏层组成，每个隐藏层有2000个神经元。我们的测试表明，进一步增加网络复杂性不会显着提高模型的预测精度，并可能大幅增加训练时间和/或导致程序超过所使用的计算机资源的内存容量。

通过PICN、PIFCN和FV获得的水面高程 η 示例，与横截面S1处FV（5）生成的相应基准（黑线）进行对比。

图11展示了在S1截面处，不同模型对水面高程（𝜂）的预测结果。通过与基准模型（细网格FV模型）的对比，表明PICN模型的预测结果比PIFCN和粗网格FV模型更为准确。尤其是在S1和S2截面处，PICN的预测精度显著高于PIFCN和较粗分辨率的FV模型。这意味着在模拟复杂的洪水动态时，PICN在精度上表现更为优越。

 

台伯河主河道横截面S1（a）和S2（B）处的预测水深误差 

图13展示了各模型在S1和S2截面处的流量预测误差。与水深预测结果不同，FV模型在流量预测中表现出显著更高的准确性，尤其是在S2截面处，PICN和PIFCN模型的最大流量误差分别超过了基准的50%和70%。这表明尽管PICN和PIFCN模型在水深预测方面表现良好，但它们在流量预测上的精度较差。这可能是由于水面高程在空间上变化较小，而流量的变化更为复杂，需要更精细的动态捕捉能力。

 

 图14比较了各模型在水深预测上的时间精度（ℎ）和相应的计算时间。结果显示，PICN模型在低计算成本下能够提供更高的预测精度。例如，PICN(200)在水深预测的准确性上优于FV(10)，但其计算成本却低一个数量级以上。这突显了PICN在速度和精度平衡上的优势，尤其是在空间分辨率较低的情况下，这为实际洪水模拟应用提供了重要的参考。

总体来看，PICN模型在水深预测上具有明显优势，而PIFCN模型则在速度和精度之间的平衡性上较为逊色。尽管FV模型在流量预测上表现出更高的精度，但其计算成本明显高于PICN。这意味着在实际洪水情境中，如果重点是水深的预测而非流量，PINN模型（尤其是PICN）在计算效率和精度上提供了一个合理的替代方案。

六、结论

本文提出了两种物理信息神经网络（PINNs），分别是基于全连接神经网络（PIFCN）和卷积神经网络（PICN）的模型，用于预测通常由浅水方程（SWEs）模拟的自由表面流动。PINN通过结合浅水方程、边界条件和初始条件来消除对标记数据的依赖，作为求解SWEs的替代方法。通过三个测试用例，包括两个理想化流动问题和一个真实的洪水模拟，评估了模型的准确性和计算性能。结果表明，PICN在速度和精度的权衡上通常优于PIFCN，尤其是在空间分辨率较低的情况下，PICN表现出对网格分辨率变化的鲁棒性。此外，虽然传统的有限体积（FV）模型在流量预测方面表现较好，但在流深预测中，PICN模型能够在较低计算成本下实现类似的准确性。在某些粗略分辨率的应用场景中，PINN模型展示了更高的预测精度和计算效率。尽管PINN技术尚未完全取代传统数值方法，但它作为一种新兴技术展现了显著的潜力，特别是在解决某些现实世界复杂问题时值得进一步研究和开发。