今天我们来学习一下新的数据结构，二叉搜索树，这个结构比较简单，是一个铺垫式的结构，为之后的平衡二叉树，AVL树以及红黑树做一个知识基础，我们将从概念到实现具体的介绍二叉搜索树。
目录
Ⅰ.二叉搜索树的概念
Ⅱ.二叉搜索树的性能分析
Ⅲ.二叉搜索树的具体实现
1.二叉搜索树的节点
2.二叉搜索树的插入
3.二叉搜索树的查找
4.二叉搜索树的删除
5.二叉搜索树的销毁
6.二叉搜索树的遍历
7.二叉搜索树的拷贝
Ⅳ.二叉搜索树key和key/value
Ⅰ.二叉搜索树的概念
我们之前已经学习过二叉树的结构了，从名字我们就可以很容易的看出来，二叉搜索树也是二叉树的一种，他的大体结构还是和二叉树一致，只是有一些逻辑上的差异。
我们先看一下二叉搜索树的模型图
我们通过上面的图可以得到几个结论
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若他的左子树不为空，则左子树上面的所有值都小于根节点的值
- 若他的右子树不为空，则右子树上面的所有值都大于根节点的值
- 它的左右子树也都是二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义
Ⅱ.二叉搜索树的性能分析
我们可以先看一下，二叉搜索树的最优结构和最坏结构如下所示
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O(log2 N)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： O(N)
综合下来，二叉搜索树的增删查的时间复杂度为O（N）
这样看二叉搜索树的增删改的时间复杂度与数组一样，那这样的效率就属实有点过低了，所以在后面我们将以此基础实现平衡二叉树等效率高的结构，二叉搜索树只是一个基础。
Ⅲ.二叉搜索树的具体实现
1.二叉搜索树的节点
既然是树，那么依然需要树的根节点结构，即_left——左子树，_right——右子树，_key——自身节点，具体代码实现如下
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};2.二叉搜索树的插入
我们将二叉搜索树的增删查都放到另一个类中，此类中含有唯一私有成员_root
插入分为二种情况
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点
我们可以控制是否插入相同的值，但是注意，插入相同的值时，需要保持逻辑一致，不能一会向左子树插，一会向右子树插入
逻辑：
我们这里以不插入相同元素为例
先判断根节点是否为空，若为空就直接新增节点，给root赋值
若不为空，则需要创建两个指针变量，一个cur指向根节点，另一个parent指向cur的父节点，来确定树的结构
我们创建一个while循环，当cur为空时停止循环，先让parent赋值为cur，然后用分支语句进行判断，若传入的值key大于cur的_key就让cur向右走，反之向左走，若相等就返回false中止插入。
当cur等于空时，则找到了正确的位置，此时只需要新建一个节点，并再次通过分支语句，判断该节点是parent的左子树还是右子树，连接即可，返回true，表示插入成功。
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}3.二叉搜索树的查找
二叉搜索树的查找连接和插入逻辑类似，但是更为简单，不需要parent节点，在按照分支逻辑走即可
基本逻辑
1.从根开始比较，查找key，key比根的值大则往右边走查找，key比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到key即可返回
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个key存在，⼀般要求查找中序的第⼀个key。
我们看一下插入的图
代码实现
Node* Find(const K & key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return cur;
}
return nullptr;
}4.二叉搜索树的删除
二叉搜索树的删除，是二叉搜索树实现最为复杂的部分
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩子均为空
- 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
- 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
- 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
由于前三种情况的解决方式是一致的，可以归类为同一种情况
第一种 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N节点
第二种 把N节点的父亲对应孩子的指针指向N的右孩子，直接删除N节点
第三种 把N节点的父亲对应孩子的指针指向N的左孩子，直接删除N节点
这个便是以上三种情况的例子，以及解决方案
第四种情况，就比较特殊了，由于其具有两个孩子节点，而对应的父节点已经有两个子节点了，即使删掉一个子节点，那么还缺一个子节点的位置，那么该如何解决呢？
这里我们将运用替换节点的思路，来解决这个情况的问题
找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除
如图所示
我们在删除部分依旧可以复用查找和插入的代码，只需要在比较cur的成员_key和传入变量key相等的部分，来实现我们的删除逻辑即可，代码实现如下所示
bool Erase(const K & key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur ->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
cur->_value = replace->_value;
if (replaceParent->_left == replace)
replace->_left = replace->_right;
else
replace->_right = replace->_right;
delete replace;
}
}
}
}以上是二叉树的基本增删查的实现部分，可以看到这里并没有改的操作，因为二叉搜索树一旦修改某值，整个树的结构就发生了改变，就不满足二叉搜索树的结构了。
所以基本的应用，二叉搜索树只有增删查功能
下面我们实现一些树的基本功能，这部分将会使用到递归的思想，如果忘了可以去复习一下二叉树的基本用法
5.二叉搜索树的销毁
二叉搜索树的销毁，我们就只需要按照后序遍历的顺序依次对节点进行释放即可。
代码实现如下
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}6.二叉搜索树的遍历
二叉搜索树的中序遍历即将二叉树按从小到大的顺序进行打印，所以我们只需要实现中序遍历即可
运行图
代码如下
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}7.二叉搜索树的拷贝
这个部分有些人会想着按照前序遍历一个一个插入即可，但是这样是万万不可的，会导致二叉搜索树的结构被破坏，如果必须想着用一个一个插入，那么可以用层序遍历的顺序进行插入，除此之外，我们可以用递归的思想进行拷贝，代码很容易，逻辑需要略加思考
代码如下
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}Ⅳ.二叉搜索树key和key/value
上面实现的就是二叉搜索树的key模型
我们二叉搜索树还可以实现key/value模型
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。
整个代码如下所示，key模型和key/value模型的代码实现都是大差不差，只是key/value模型的模板会多出一个类型，能够存储value的值
整段代码实现如下
#include<iostream>
using namespace std;
namespace bit
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
using Node = BSTNode<K, V>;
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t.root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K & key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return cur;
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K & key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur ->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
cur->_value = replace->_value;
if (replaceParent->_left == replace)
replace->_left = replace->_right;
else
replace->_right = replace->_right;
delete replace;
}
}
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}以上便是搜索二叉树的具体知识点与实现，希望对你带来帮助！
