前言

• 在神经网络中，损失函数、正则化惩罚和梯度下降是三个关键的概念，它们共同作用于网络的训练过程，以提升网络的性能和泛化能力。
• 神经网络模型结构如下图所示：
  
• 在构建好一个神经网络模型后，为了让模型得出的结果更加的准确，那么必须对模进行训练，找到最接近真实结果的模型
• 定义损失函数用来判断模型预测的结果和真实值的误差，在对损失函数添加正则化惩罚项，提高对输入数据的拟合效果，达到好的泛化能力
• 为了达到最小的误差值，需要运用梯度下降的方法来找到模型中最优的权重参数

一、损失函数

• 损失函数是用来评估神经网络预测值与实际值之间差异的函数。通过最小化损失函数的值，网络可以学习到如何更好地进行预测。不同类型的任务需要不同类型的损失函数，常见的损失函数包括：
  • 交叉熵损失函数
  • 均方差损失函数
  • 0-1损失函数
  • 平均绝对差损失函数
  • 合页损失函数
• 示例：多分类的情况下，如何计算损失值呢？
  • softmax交叉熵损失函数多用于实现分类问题，用于多分类公式如下：
    
    • yi表示第 i 个预测的结果值
  • 下面是猫、狗、羊的照片，标签分别为0、1、2
    
  • 如果我们传入猫的照片进行训练，训练过程如下图所示：
    
  • 首先先对训练后的各目标结果进行e的指数倍放大
  • 再将其值进行归一化，得到各个结果的概率
  • 最后通过损失函数计算出每个标签结果上的损失值
  • 由于我们输入的是猫的照片进行训练，所以只需要关注第一个输出神经元的结果，如果损失值越小，说明越靠近真实结果，模型的效果也就越好

二、正则化惩罚

• 正则化是一种减少过拟合的技术，它通过向损失函数中添加一个正则化项来实现。正则化项通常是对模型参数（如权重）的某种形式的惩罚，旨在限制模型的复杂度，从而提高其泛化能力。常见的正则化方法包括：

  • L1正则化：向损失函数中添加权重绝对值的和作为惩罚项。L1正则化有助于产生稀疏的权重矩阵，即许多权重为零，这有助于模型的解释性，并可能减少计算量。

  • 公式如下:
    

  • L2正则化：向损失函数中添加权重平方和的一半作为惩罚项。L2正则化有助于减小权重的值，从而防止模型过于复杂，避免过拟合。

  • 公式如下：
    

    • 各参数的含义与L1正则化中的相同

• 下面通过一个实例来说明为什么要增加正则化惩罚：
  

  • w1和w2与输入的乘积都为1，但w2 与每一个输入数据进行计算后都有数据，使得w2会学习到每一个特征信息。
  • 而w1只和第1个输入信息有关系，容易出现过拟合现象，因此w2的效果会比w1 好
  • 因此需要引入正则化惩罚项来避免第一种权重值的情况

三、梯度下降

• 损失函数具有良好的梯度信息，使得优化算法（如梯度下降）能够有效地更新模型参数
• 在神经网络中，我们希望通过调整网络参数（如权重和偏置）来降低损失函数的值。梯度下降算法通过计算损失函数关于网络参数的梯度，并沿着梯度的反方向更新参数，从而逐步逼近损失函数的最小值。
• 具体步骤如下：
  • 1.计算梯度：首先，需要计算损失函数关于每个参数的梯度。这通常通过反向传播算法（Backpropagation）来实现，该算法从网络的输出层开始，逐层计算梯度，直到到达输入层。
  • 2.更新参数：然后，使用计算得到的梯度来更新网络的参数。更新规则通常遵循以下形式：
    
  • 3.重复迭代：不断重复上述步骤，直到满足某个停止条件（如达到最大迭代次数、损失函数值低于某个阈值或梯度接近于零）
• 用下图来解释梯度下降的过程：
  • 参数取不同的初始值，可能会得到不同的最小损失值，但是每个初始的参数只是得到了此模型局部的最小损失值
  • 就好像当你处在一个谷底时，只会认为此时的位置是最低的，但并不知道其他的低谷处还有更低的位置
  • 梯度下降就是通过不断地寻找梯度方向和计算得到不同的损失值，直到找到最优和满足条件的值为止