基本数据结构：“树”的简单介绍

news2025/1/10 16:24:49

树是一种重要的非线性数据结构，它模拟了树这种自然结构，由结点（Node）和边（Edge）组成，常用于表示分层关系（如文件系统、组织结构等）。以下是树的一些基本概念和特性：

1.树的基本概念

1.1 结点（Node）

  • 树由多个结点组成。
  • 每个结点包含一个值或数据。
  • 结点可以有零个或多个子结点。

1.2 根结点（Root Node）

  • 树的最顶层的结点称为根结点。
  • 每棵树只有一个唯一的根结点。

1.3 叶结点（Leaf Node）

  • 也称为终端结点，没有子结点的结点。
  • 叶结点是树的最底层结点。

1.4 内部结点（Internal Node）

  • 具有至少一个子结点的结点。

1.5 父结点（Parent Node）

  • 具有下一级子结点的结点称为父结点。
  • 除了根结点之外，每个结点都有一个父结点。

1.6 子结点（Child Node）

  • 父结点的直接下一级结点称为子结点。

1.7 兄弟结点（Sibling Node）

  • 具有相同父结点的结点称为兄弟结点。

1.8 路径（Path）

  • 从一个结点到另一个结点的顺序访问称为路径。

1.9 深度（Depth）

  • 从根结点到某个结点的路径长度称为该结点的深度。

1.10 高度（Height）

- 从某个结点到叶结点的最长路径的长度称为该结点的高度。

2.树的类型

2.1 二叉树（Binary Tree）

  • 每个结点最多有两个子结点（左子结点和右子结点）。

2.2 完全二叉树（Complete Binary Tree）

2.2.1完全二叉树的定义

完全二叉树（Complete Binary Tree）是一种特殊的二叉树，满足以下两个条件：

所有层（除最后一层外）都是满的：即每层包含的结点数都是最大可能的。
最后一层的结点尽量靠左排列：即最后一层上的结点都是从左到右填充的，没有空隙。

2.2.2完全二叉树的性质

完全二叉树具有一些独特的性质，使其在实践中非常有用：

  1. 结点数量和层次关系：

    • 对于一棵高度为 (h) 的完全二叉树，结点总数 (n) 满足 (2^{h-1} \leq n < 2^h )
      。
    • 如果完全二叉树有 (n) 个结点，那么它的高度 (h) 为 (h = \lfloor \log_2{n} \rfloor + 1)
      。

  2. 结点的编号：

    • 完全二叉树的结点可以按层次从上到下、从左到右依次编号。
    • 编号为 (i) 的结点的父结点编号为 (i/2)，左子结点编号为 (2i)，右子结点编号为 (2i+1)。

  3. 满二叉树的关系：

    • 完全二叉树是一种特定类型的不完全的满二叉树，即所有结点要么有两个子结点，要么没有子结点。

  4. 树的层数：

    • 所有结点按层从上到下编号后，编号为 (i) 的结点所在层数为 (\lfloor \log_2{i} \rfloor + 1)
      。
2.2.3完全二叉树的实现

由于完全二叉树的这些性质，可以非常方便地使用数组来表示它。这种表示法使得父、子结点间的关系易于计算。

2.2.4数组表示法

假设数组从下标 1 开始存储完全二叉树的结点：

  • 若根结点在数组的第 1 位（arr[1]）：
    • 下标为 (i) 的结点的左子结点下标为 (2i)。
    • 下标为 (i) 的右子结点下标为 (2i+1)。
    • 下标为 (i) 的结点的父结点下标为 (i/2)。
2.2.5完全二叉树的应用

  1. 堆（Heap）：

    • 堆是一种完全二叉树，可以是最大堆（根结点是最大值）或最小堆（根结点是最小值）。
    • 应用于优先队列等数据结构。

  2. 树状数组（Fenwick Tree）：

    • 用作高效动态处理前缀和问题。

  3. 缓存机制：

    • 完全二叉树的性质使其在某些存储结构（如B树、B+树）中得以应用，优化存储访问效率。
2.2.6完全二叉树的例子

考虑一个完全二叉树，有如下性质：

          1
       /    \
      2      3
     / \    / 
    4   5  6
  • 这种结构中，除了第3层，其他层都是满的，最后一层的结点（4, 5, 6）从左到右依次排列。
2.2.7总结

完全二叉树因其紧凑的结构和优良的性质，在实际应用中广泛存在。它的层次性表示使得在某些情况下，它可以非常高效地被存储和操作。只需简单的数组操作，即可轻松完成许多复杂的数据结构操作，从而提升算法的性能。

2.3 满二叉树（Full Binary Tree）

  • 每个结点要么没有子结点，要么有两个子结点。
2.3.1 满二叉树定义

**满二叉树（Full Binary Tree 或 Perfect Binary Tree）**是一种特殊的二叉树，它有以下特点：

  1. 每一个结点要么是叶子结点，要么有两个子结点：即没有只有一个子结点的结点。
  2. 所有叶子结点都在同一层：这一点区分了满二叉树与其他类型的二叉树，如完全二叉树。
2.3.2 满二叉树的性质

满二叉树具有一些独特且重要的性质，使其在理论和实际应用中广泛使用。

  1. 结点数量与高度关系：

    • 若高度为 ( h ) 的满二叉树，结点总数 ( n ) 满足 ( n = 2^h - 1 )。
    • 若结点总数为 ( n )，则高度 ( h ) 满足 ( h = \log_2(n + 1) )。

  2. 叶子结点数量：

    • 满二叉树中，叶子结点数量为 ( 2^{h-1} )，其中 ( h ) 是树的高度。

  3. 内部结点数量：

    • 满二叉树中，内部结点的数量为 ( 2^{h-1} - 1 )。

  4. 平衡性：

    • 满二叉树是完全平衡的，即所有叶子结点到根结点的路径长度相同。

  5. 最优性：

    • 对于给定高度 ( h ) 的树结构来说，满二叉树拥有最多的结点数，是结点高度分布最优的二叉树。
2.3.3 满二叉树的例子

考虑一个高度为 3 的满二叉树，看起来如下：

          1
       /     \
      2       3
     / \     / \
    4   5   6   7

在这个例子中：

  • 树的高度 ( h = 3 )。
  • 结点总数 ( n = 2^3 - 1 = 7 )。
  • 叶子结点数量 ( = 2^{3-1} = 4 ) 个（4, 5, 6, 7）。
2.3.4 满二叉树在数组中的表示

满二叉树可以使用数组方便地表示，有如下规则：

  • 根结点在数组的第 1 位（arr[1]）。
  • 下标为 ( i ) 的结点的左子结点下标为 ( 2i )。
  • 下标为 ( i ) 的结点的右子结点下标为 ( 2i + 1 )。
  • 下标为 ( i ) 的结点的父结点下标为 ( i/2 )。
2.3.5 应用场景

满二叉树在计算机科学中有很多应用场景，特别是在需要平衡和对称性的场景中：

  1. 计算机网络中层次结构设计：例如IP地址的分配等。
  2. 数据库和文件系统的设计：特别是在设计完全平衡树类型的索引结构时。
  3. 递归算法分析：例如在深度优先搜索中的递归树。
  4. 数据压缩：一些数据压缩算法（如Huffman编码）中，会用到树状结构。
2.3.6 结论

满二叉树因其高度平衡和结点分布均匀的特性，在很多理论研究和实际应用中都是一个重要的概念。它的数学性质使得我们可以轻松地计算和推导出各种相关参数，这对于分析和设计高效的算法和数据结构至关重要。

2.4 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

  • 任何结点的左右子树的高度差不超过1。
  • 如：AVL树、红黑树。
2.4.1 平衡二叉树定义

平衡二叉树（Balanced Binary Tree） 又称 AVL树（得名于其发明者 Adelson-Velsky 和 Landis），是一种特殊的二叉搜索树（BST）。它具有以下特点：

  1. 二叉搜索树的性质：对于任何一个结点，其左子树所有结点的值均小于该结点，右子树所有结点的值均大于该结点。
  2. 高度平衡：任何结点的左右子树高度差不超过 1。
2.4.2 平衡因子

平衡二叉树通过维护平衡因子来实现其高度平衡：

  • 平衡因子：某个结点的平衡因子等于其左子树高度减去右子树高度。AVL 树中的任意结点的平衡因子的绝对值不超过 1。
2.4.3 AVL树的旋转操作

当插入或删除结点导致某个结点的平衡因子不再满足条件（绝对值超过 1）时，需要通过旋转操作来重新平衡树。常见的旋转操作有：

  1. 右旋（LL旋转）：

    • 当某个结点的左子树的左子树插入导致不平衡。
    • 旋转示意：
           y                  x
    / \                / \
   x   C     -->      A   y
  / \                    / \
 A   B                  B   C

  2. 左旋（RR旋转）：

    • 当某个结点的右子树的右子树插入导致不平衡。
    • 旋转示意：
           x                  y
    / \                / \
   A   y     -->      x   C
      / \            / \
     B   C          A   B

  3. 左右旋（LR旋转）：

    • 当某个结点的左子树的右子树插入导致不平衡。
    • 先对左子结点进行左旋，再对根结点进行右旋。
    • 旋转示意：
           z                 z                 y
    / \               / \               / \
   x   D     -->     y   D     -->     x   z
  / \               / \               / \ / \
 A   y             x   C             A  B C  D
    / \           / \
   B   C         A   B

  4. 右左旋（RL旋转）：

    • 当某个结点的右子树的左子树插入导致不平衡。
    • 先对右子结点进行右旋，再对根结点进行左旋。
    • 旋转示意：
           x                 x                 y
    / \               / \               / \
   A   z     -->     A   y     -->     x   z
      / \               / \           / \ / \
     y   D             B   z         A  B C  D
    / \                   / \
   B   C                 C   D
2.4.4 AVL树的操作

基本操作包括插入、删除和查找：

  1. 插入：

    • 插入结点后，可能导致某些结点失去平衡。需要回溯检查并通过旋转操作来恢复平衡。

  2. 删除：

    • 删除结点后，也可能导致某些结点失去平衡。通过旋转操作恢复平衡。

  3. 查找：

    • 查找操作与普通的二叉搜索树相同，时间复杂度为 (O(log n))。
2.4.5 AVL树的时间复杂度

由于 AVL 树保持了高度平衡，树的高度 (h) 始终在 (O(log n)) 级别。因此，插入、删除和查找操作的时间复杂度均为 (O(log n))。

2.4.6 AVL树的结构例子

考虑以下一个 AVL 树例子：

        30
       /  \
     20    40
    /  \     \
   10   25    50

在这个例子中：

  • 每个结点的左右子树高度差不超过 1，满足 AVL 树的条件。
2.4.6 AVL树的优缺点

优点：

  • 查找、插入和删除操作都有较好的时间复杂度 (O(log n))。
  • 适用于需要频繁插入和删除操作的动态数据集。

缺点：

  • 旋转操作相对复杂，可能引入一些开销。
  • 维护树的平衡需要一定的额外计算资源。
2.4.7 结论

AVL 树以其平衡二叉搜索树的特性，在需要高效进行查找和动态插入、删除操作的场景中尤为重要。通过旋转操作保持平衡，使得树的高度始终控制在对数级别，从而保证高效的操作时间。

2.5 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）

  • 每个结点的左子树上的所有结点值都小于该结点的值，而右子树上的所有结点值都大于该结点的值。
2.5.1 二叉搜索树的定义

二叉搜索树是一种二叉树，它具有以下特性：

  1. 每个结点有一个唯一的键值或者数据。
  2. 左子树所有结点的键值小于其根结点的键值。
  3. 右子树所有结点的键值大于其根结点的键值。
  4. 每个子树也是一个二叉搜索树。
2.5.2 二叉搜索树的性质
  1. 中序遍历：对二叉搜索树进行中序遍历（左-根-右）可以得到一个递增的有序序列。
  2. 查找、插入与删除操作的时间复杂度：在平均情况下，这些操作的时间复杂度均为 (O(log n))，但在最坏情况下（树退化成链表），时间复杂度为 (O(n))。
  3. 最低与最高结点：最小值结点是一直沿左子树遍历得到的结点，最大值结点是一直沿右子树遍历得到的结点。
2.5.3 二叉搜索树的基本操作

1. 查找（Search）：
在树中查找一个值，按照以下步骤：

  • 从根结点开始比较。
  • 若值等于根结点，查找成功。
  • 若值小于根结点，递归查找左子树。
  • 若值大于根结点，递归查找右子树。
def search(root, key):
    if root is None or root.val == key:
        return root
    if key < root.val:
        return search(root.left, key)
    else:
        return search(root.right, key)

2. 插入（Insert）：
在树中插入一个新值，需要保持树的性质：

  • 若树为空，把新结点作为根结点。
  • 若树非空，比较新值与当前结点值：
    • 若小于当前结点，递归插入到左子树。
    • 若大于当前结点，递归插入到右子树。
def insert(root, key):
    if root is None:
        return TreeNode(key)
    if key < root.val:
        root.left = insert(root.left, key)
    else:
        root.right = insert(root.right, key)
    return root

3. 删除（Delete）：
删除结点时需要维护树的性质，有三种情况：

  • 结点无子结点：直接删除。
  • 结点有一个子结点：用子结点替代被删除结点。
  • 结点有两个子结点：找到右子树的最小值结点或左子树的最大值结点替换被删除结点，然后递归删除最小值/最大值结点。
def delete(root, key):
    if root is None:
        return root
    
    if key < root.val:
        root.left = delete(root.left, key)
    elif key > root.val:
        root.right = delete(root.right, key)
    else:
        if root.left is None:
            return root.right
        elif root.right is None:
            return root.left
        temp = minValueNode(root.right)  # 找右子树最小值结点
        root.val = temp.val
        root.right = delete(root.right, temp.val)
    return root

def minValueNode(node):
    current = node
    while current.left is not None:
        current = current.left
    return current

4. 前序遍历（Pre-order Traversal）：
遍历顺序为根结点 -> 左子树 -> 右子树。

5. 中序遍历（In-order Traversal）：
遍历顺序为左子树 -> 根结点 -> 右子树。对BST的中序遍历结果是一个排序的序列。

6. 后序遍历（Post-order Traversal）：
遍历顺序为左子树 -> 右子树 -> 根结点。

2.5.4 二叉搜索树的应用
  1. 查找表：如字典、集合等，基于BST可以高效地实现查找、插入和删除操作。
  2. 排序：通过中序遍历可以得到排序后的数据。
  3. 动态数据集合：特别是在需要动态维护数据集的场景中，BST非常有效。
2.5.5 二叉搜索树的例子

考虑一个简单的二叉搜索树：

       15
     /    \
   10      20
  /  \    /  \
 8   12  17  25

在这个例子中：

  • 查找 12，通过根结点 15 向左，再向右，找到了结点 12。
  • 插入 16，首先找到 17 的位置，然后插入 16 作为 17 的左子结点。
  • 删除 20，选择 25 替代 20 的位置，然后从右子树中删除 25，再连接。
2.5.6 二叉搜索树的优缺点

优点：

  • 实现简单，直观易懂。
  • 可以高效地实现查找、插入和删除操作，特别是在平均情况下。

缺点：

  • 在最坏情况下，树可能退化为链表，导致操作时间复杂度为 (O(n))。
  • 不自带平衡机制，需要引入平衡策略（如 AVL 树或红黑树）来优化。
2.5.7 总结

二叉搜索树作为一种基本且重要的数据结构，在很多算法和数据存储中扮演重要角色。理解并掌握它的基本操作和性质，有助于设计高效的算法，并打下坚实的数据结构基础。

2.6 N叉树（B-Tree、B+树）

  • 每个结点可以有最多N个子结点，常用于数据库和文件系统。
2.6.1 N叉树的定义

N叉树（N-ary Tree）是一种广义的树形数据结构，其中每个结点最多可以有 N 个子结点。N叉树是二叉树的推广，在二叉树中每个结点至多有两个子结点，而在N叉树中，每个结点可以有更多的子结点。

2.6.2 N叉树的性质
  1. 结点和子结点：每个结点最多可以有 N 个子结点。
  2. 树的高度：由根结点到叶子结点所经过的边的最大数量。
  3. 叶子结点：没有子结点的结点。
  4. 树的度：树中结点拥有的最大子结点数。
2.6.3 N叉树的表示
2.6.3.1 数组表示法

在数组表示法中，N叉树的每一个结点都包含自己的数据和一个子结点数组。这个数组包含指向所有子结点的指针。

class Node:
    def __init__(self, val=None):
        self.val = val
        self.children = []
2.6.3.2 链表表示法

在链表表示法中，N叉树的每个结点不仅存储数据，还包含一个指向其子结点的列表（可以是链表、数组等）。

2.6.4 N叉树的基本操作

1. 插入（Insert）：
插入操作根据特定的需求和策略，可以将新结点插入到不同的位置。例如，可以选择插入到某个结点的子结点列表中。

def insert(parent, child):
    if parent is not None:
        parent.children.append(child)

2. 删除（Delete）：
删除操作通常也根据特定要求进行，可以删除某个结点及其子树，或者仅删除某个结点而保留其子结点。

def delete(parent, child):
    if parent is not None:
        parent.children.remove(child)

3. 遍历（Traversal）：N叉树的遍历可以类比二叉树的遍历方法，分别有前序、中序、后序和层序遍历。

  • 前序遍历（Pre-order Traversal）：根 -> 子结点。
def preorder(node):
    if not node:
        return
    print(node.val, end=' ')
    for child in node.children:
        preorder(child)
  • 后序遍历（Post-order Traversal）：子结点 -> 根。
def postorder(node):
    if not node:
        return
    for child in node.children:
        postorder(child)
    print(node.val, end=' ')
  • 层次遍历（Level-order Traversal）：一层一层地遍历树的结点。
from collections import deque

def level_order(root):
    if not root:
        return
    queue = deque([root])
    while queue:
        node = queue.popleft()
        print(node.val, end=' ')
        for child in node.children:
            queue.append(child)
2.6.5 N叉树的应用

N叉树由于其灵活的结点数量，广泛应用于多种数据结构和现实问题中：

  1. 文件系统：N叉树可以用来表示目录和文件的层次结构，每个目录包含多个子目录和文件。
  2. 分类体系：如产品分类，种属分类等，每个分类下可以有多个子分类。
  3. 游戏开发：用于表示场景中的层次结构，如场景图和对象之间的层次关系。
  4. 组织架构：公司或组织的层次结构，每个部门可以有多个子部门。
2.6.6 N叉树的例子

考虑一个3叉树的结构示例：

        1
      / | \
     2  3  4
    /|\    |
   5 6 7   8

在这个3叉树中：

  • 根结点是 1。
  • 结点 1 有 3 个子结点（2、3、4）。
  • 结点 2 有 3 个子结点（5、6、7）。
  • 结点 4 有 1 个子结点（8）。
2.6.7 N叉树的优缺点

优点：

  • 可以高效管理具有层次性和多子结点的数据结构。
  • 适用于需要灵活控制结点子结点数量的场景。

缺点：

  • 实现和操作相对复杂，特别是对于一些较高阶的操作。
  • 内存消耗较高，因为每个结点存储多个子结点的信息。
2.6.8 总结

N叉树是一种广义的树形数据结构，能够有效地表示和操作具有多子结点的复杂层次关系。其灵活性和扩展性使其在许多应用场景中非常实用。理解其基本结构和操作方法，可以帮助设计更复杂和更高效的数据管理系统。

3.树的遍历

树的遍历是一种访问结点的方式，通常有几种基本的遍历方式：

3.1 先序遍历（Pre-order Traversal）

  • 访问根结点→左子树→右子树。

3.2 中序遍历（In-order Traversal）

  • 访问左子树→根结点→右子树。
  • 用于二叉搜索树时，中序遍历可以生成排序的序列。

3.3 后序遍历（Post-order Traversal）

  • 访问左子树→右子树→根结点。

3.4 层次遍历（Level-order Traversal）

  • 逐层访问结点（使用队列实现）。

4.树的应用

4.1 文件系统

  • 操作系统的文件系统中目录结构通常用树表示。

4.2 数据库索引

  • B树和B+树广泛用于数据库和文件系统的索引。

4.3 表达式解析

  • 树用于编译器中表达式解析。

4.4 网络路由

  • 路由协议经常使用树来存储路由信息。

4.5 人工智能

  • 游戏中的决策树和搜索树。

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Linux的历史，版本，Linux的环境安装、简单学习4个基本的Linux指令、创建普通用户等的介绍

文章目录 前言一、Linux的历史二、版本三、Linux的环境安装1. 腾讯云服务器的申请2. xshell的安装与使用 四、 简单学习4个基本的Linux指令1. ls2. pwd3. mkdir4. cd 五、创建普通用户总结 前言 Linux的历史&#xff0c;版本&#xff0c;Linux的环境安装、简单学习4个基本的Li…
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公司电脑屏幕监控软件大战摸鱼怪！五个好用的实时屏幕监控软件，第一款Get了吗？

公司电脑屏幕监控软件大战摸鱼怪！五个好用的实时屏幕监控软件，第一款Get了吗？

在繁忙的办公室里&#xff0c;总有一些“摸鱼怪”在不经意间悄然出现&#xff0c;他们或许在浏览无关网页&#xff0c;或许在偷偷聊天&#xff0c;甚至可能在上班时间玩起了游戏。 一、企业面临的问题详情 小李是公司的一名程序员&#xff0c;每天的工作任务繁重且紧急。 然而…
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seafaring靶场漏洞测试攻略

seafaring靶场漏洞测试攻略

打开网页 一.sql注入漏洞 1.输入框测试回显点 -1 union select 1,2,3# 2.查看数据库名 -1 union select 1,2,database()# 3.查看表名 -1 union select 1,2,group_concat(table_name) from information_schema.tables where table_schematest# 4.查看admin表中列名 -1 unio…
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千兆工业交换机最重要的是什么？

千兆工业交换机最重要的是什么？

在现代工业环境中&#xff0c;千兆交换机扮演着至关重要的角色&#xff0c;支持着企业的信息流动和数据传输。然而&#xff0c;当我们探讨千兆工业交换机的各个方面时&#xff0c;最为重要的则是其稳定性和可靠性。首先&#xff0c;千兆工业交换机通常被应用在苛刻的工作环境中…
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[网络]http/https的简单认识

[网络]http/https的简单认识

文章目录 一. 什么是http二. http协议工作过程三. http协议格式1. 抓包工具fiddler2. http请求报文3. http响应报文 一. 什么是http HTTP (全称为 “超⽂本传输协议”) 是⼀种应⽤⾮常⼴泛的 应⽤层协议 HTTP 诞⽣与1991年. ⽬前已经发展为最主流使⽤的⼀种应⽤层协议 HTTP 往…
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docker 多服务只暴露一个客户端

docker 多服务只暴露一个客户端

业务场景 docker部署多个服务时候,当为了安全考虑 部署了多个服务,数据库,缓存库,文件服务器啥的,如果全都暴露的话可能会增加资源侵入的风险,所以只需要挂载一个客户端端口给外部访问即可,其他服务均在内网,保障资源安全 docker 网络 可以把容器们都放在同一网络下,由于docke…
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Redis——常用数据类型List

Redis——常用数据类型List

目录 List列表常用命令lpushlpushxrpushrpushlrangelpoprpoplindexlinsertllenlremltrim key start stoplset 阻塞版本命令blpopbrpop list的编码方式list的应用 List列表 Redis中的list相当于数组&#xff0c;或者 顺序表&#xff0c;一些常用的操作可以通过下面这张图来理解…
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JAVA中线程池的详解

JAVA中线程池的详解

1.概念 顾名思义&#xff0c;线程池就是管理一系列线程的资源池&#xff0c;其提供了一种限制和管理线程资源的方式。每个线程池还维护一些基本统计信息&#xff0c;例如已完成任务的数量。 这里借用《Java 并发编程的艺术》书中的部分内容来总结一下使用线程池的好处&#x…
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windows vscode ssh 连接远程服务器

windows vscode ssh 连接远程服务器

1.在 PowerShell 中运行以下命令&#xff0c;查看 OpenSSH 客户端是否已安装 Get-WindowsCapability -Online | Where-Object Name -like OpenSSH.Client*如果有安装的话&#xff0c;如下图 2.如果没有安装&#xff0c;那么用下面的命令进行安装 Get-WindowsCapability -On…
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MQ基础知识

MQ基础知识

MQ基础 1.认识MQ 同步调用 我们现在基于OpenFeign的调用都属于是同步调用&#xff0c;那么这种方式存在哪些问题呢&#xff1f; 支付业务执行流程是这样的&#xff1a; 支付服务需要先调用用户服务完成余额扣减然后支付服务自己要更新支付流水单的状态然后支付服务调用交易…
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信息安全数学基础（10）素数定理

信息安全数学基础（10）素数定理

前言 信息安全数学基础中的素数定理&#xff08;Prime Number Theorem&#xff09;是数论中一个非常重要的定理&#xff0c;它给出了小于或等于某个正整数x的素数的近似数量。这个定理在密码学、信息安全等领域有着广泛的应用&#xff0c;尤其是在设计加密算法时&#xff0c;对…
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C++ —— 关于string类

C++ —— 关于string类

目录 1. auto和范围for 1.1 auto关键字 1.2 范围for 2. string的三种遍历方式 3. string类的常用接口说明 3.1 成员函数 3.2 Iterators:&#xff08;迭代器&#xff09; 3.2.1正向迭代器和反向迭代器 3.3 Capacity&#xff08;容量&#xff09; 3.4 Modifiers&#x…
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大模型微调十诫：关于将微调模型部署到生产环境的十条建议

大模型微调十诫：关于将微调模型部署到生产环境的十条建议

转自;NLP工程化 大模型微调十诫&#xff1a;关于将微调模型部署到生产环境的十条建议&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;不要盲目微调模型&#xff0c;先尝试使用提示的方式满足需求。只有当提示无法达到质量、性能或成本目标时&#xff0c;才考虑微调。 &#xff08;2…
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ubuntu20.04 GLIBC从2.35降级到2.31

ubuntu20.04 GLIBC从2.35降级到2.31

ubuntu20.04默认的GLIBC版本是2.31&#xff0c;因为某些库的依赖问题&#xff0c;脑子一抽把GLIBC升级到2.35&#xff0c;GLIBC升级参考一下另外一位博主的文章Ubuntu20.04更新GLIBC到2.35版本_glibc-2.35-CSDN博客 但当我想把GLIBC回退到2.31版本&#xff0c;参考网上的办法&a…
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浅谈基于负荷时空均衡和弹性响应的电动汽车快充电价定价策略

浅谈基于负荷时空均衡和弹性响应的电动汽车快充电价定价策略

摘要&#xff1a;为了引导电动汽车有序充电&#xff0c;提出了一种考虑负荷时空均衡和弹性响应的电动汽车快充电价定价策略。引入交通流理论描述交通路网&#xff0c;建立电动汽车快充负荷时空分布模型&#xff1b;考虑配电网调度和电动汽车快充负荷的弹性需求&#xff0c;构建…
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【Python】从基础到进阶（七）：深入理解Python中的异常处理与调试技巧

【Python】从基础到进阶（七）：深入理解Python中的异常处理与调试技巧

&#x1f525; 个人主页&#xff1a;空白诗 文章目录 一、引言二、异常处理概述1. 什么是异常&#xff1f;2. 异常的捕获与处理 三、常见的异常类型四、自定义异常五、调试与日志记录1. 使用assert进行调试2. 使用日志记录 六、案例&#xff1a;文件操作与异常处理1. 需求分析2…
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