优化算法（二）—粒子群优化算法（附MATLAB程序）

news2024/12/23 8:11:51

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种基于群体智能的优化算法，由James Kennedy和Russ Eberhart于1995年提出。它模仿鸟群觅食的行为，利用一组“粒子”在搜索空间中进行探索，以寻找最优解。每个粒子代表一个潜在的解，通过与其他粒子的协作和自身的历史经验来更新其位置。

一、基本原理

初始化：
- 随机生成粒子的位置和速度。
- 初始化每个粒子的个体最佳位置 $P_{i}$ 和全局最佳位置 $P_{g}$ 。
评估适应度：
- 计算每个粒子的适应度值（目标函数值）。
更新个体最佳和全局最佳：
- 如果粒子的当前适应度优于个体最佳适应度，则更新个体最佳位置。
- 如果粒子的当前适应度优于全局最佳适应度，则更新全局最佳位置。
更新粒子速度和位置：
- 使用速度更新公式更新每个粒子的速度。
- 使用位置更新公式更新每个粒子的位置。
迭代：
- 重复评估适应度、更新个体最佳和全局最佳、更新速度和位置的步骤，直到达到最大迭代次数或满足停止条件。
输出结果：
- 返回全局最佳位置和适应度作为优化问题的解。

二、公式推导

2.1 粒子表示

位置和速度：
- 每个粒子 $X_{i}$ 在搜索空间中的位置表示一个可能的解。
- 每个粒子 $V_{i}$ 的速度向量决定了其在下一次迭代中的位置更新。
维度：
- 如果优化问题是 n 维的，则每个粒子的表示也是一个n 维的向量。

2.2粒子的状态

个体最佳位置（Personal Best, $P_{i}$ ）：
- 每个粒子维护一个记录自己历史上最好位置的变量 $P_{i}$ 。
- 该位置是粒子在历史迭代中所找到的最优解。
全局最佳位置（Global Best, $P_{g}$ ）：
- 群体中所有粒子所找到的最优位置中的最佳位置。
- 这是整个群体在迭代过程中找到的全局最优解。

2.3更新规则

粒子的位置和速度通过以下公式进行更新：

速度更新公式：

$v_{i}\left ( t \right )$ 是粒子 i在第 t代的速度。
$X_{i}\left ( t \right )$ 是粒子 i 在第 t代的位置。
$P_{i}$ 是粒子 i的个体最佳位置。
$P_{g}$ 是全局最佳位置。
w 是惯性权重，用于控制粒子当前速度的影响。
$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是学习因子，用于控制粒子向个体最佳位置和全局最佳位置靠近的程度。
$r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是在 [0,1] 范围内的随机数，用于引入随机性。

位置更新公式：

粒子的位置通过加上更新后的速度来更新。

2.4参数设置

惯性权重 w：
- 控制粒子速度的影响。较大的惯性权重有助于全局搜索，较小的惯性权重有助于局部搜索。
学习因子 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ：
- 控制粒子向个体最佳位置和全局最佳位置的靠近程度。通常设置 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的值在 1 到 2 之间。
随机数 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ：
- 用于引入随机性，确保粒子群的多样性。

三、MATLAB仿真

下面是一个基于MATLAB的粒子群优化算法示例程序，用于寻找一个简单的优化问题的最优解。例如，优化目标函数 $f\left ( x \right )=x^{2}$ 的最小值。

% 粒子群优化算法参数设置
nParticles = 30;        % 粒子数量
nDimensions = 1;        % 变量维度
nIterations = 100;      % 迭代次数
w = 0.5;                % 惯性权重
c1 = 1.5;               % 个体学习因子
c2 = 1.5;               % 全局学习因子

% 初始化粒子位置和速度
positions = rand(nParticles, nDimensions) * 10 - 5;  % 在 [-5, 5] 范围内初始化
velocities = rand(nParticles, nDimensions) * 2 - 1;  % 在 [-1, 1] 范围内初始化
personalBestPositions = positions;                    % 个人最佳位置初始化为当前位置
personalBestScores = arrayfun(@(i) objectiveFunction(positions(i, :)), 1:nParticles);  % 个人最佳适应度
[globalBestScore, bestIndex] = min(personalBestScores); % 全局最佳适应度
globalBestPosition = personalBestPositions(bestIndex, :); % 全局最佳位置

% 主循环：迭代粒子群优化
for iter = 1:nIterations
    % 计算适应度
    scores = arrayfun(@(i) objectiveFunction(positions(i, :)), 1:nParticles);
    
    % 更新个体最佳
    betterMask = scores < personalBestScores;
    personalBestPositions(betterMask, :) = positions(betterMask, :);
    personalBestScores(betterMask) = scores(betterMask);
    
    % 更新全局最佳
    [currentBestScore, bestIndex] = min(personalBestScores);
    if currentBestScore < globalBestScore
        globalBestScore = currentBestScore;
        globalBestPosition = personalBestPositions(bestIndex, :);
    end
    
    % 更新速度和位置
    r1 = rand(nParticles, nDimensions);
    r2 = rand(nParticles, nDimensions);
    velocities = w * velocities ...
               + c1 * r1 .* (personalBestPositions - positions) ...
               + c2 * r2 .* (globalBestPosition - positions);
    positions = positions + velocities;
    
    % 显示当前迭代的全局最佳解
    disp(['Iteration: ', num2str(iter), ', Best Position: ', num2str(globalBestPosition), ', Best Score: ', num2str(globalBestScore)]);
end

% 目标函数（优化目标）
function score = objectiveFunction(x)
    score = x.^2;  % 目标是最小化 x^2
end

代码解释

参数设置：
- nParticles：粒子数量。
- nDimensions：优化问题的维度（在此示例中为1维）。
- nIterations：迭代次数。
- w：惯性权重。
- c1 和 c2：个体学习因子和全局学习因子。
初始化：
- 粒子的位置和速度被随机初始化。
- 个人最佳位置和适应度被初始化为当前的位置和适应度。
- 全局最佳位置和适应度从个人最佳中选择。
主循环：
- 计算所有粒子的适应度。
- 更新每个粒子的个体最佳位置和适应度。
- 更新全局最佳位置和适应度。
- 根据更新规则调整粒子的速度和位置。
目标函数：
- 在此示例中，目标函数是 $f\left ( x \right )=x^{2}$ ，目标是找到 x 的最小值。