动态规划(算法)---02.斐波那契数列模型

动态规划(算法)---02.斐波那契数列模型_三步问题

news2024/12/23 23:14:44

题目链接：

面试题 08.01. 三步问题 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/description/

一、题目解析

题目：

题目讲解：

我们先举例查看规律：

第一台阶：我们从0台阶上到第一台阶，只需一步，就可以上去，所以只有一种上法

第二台阶：我们既可以从0台阶两步上到第二台阶，也可以先一步上第一台阶，再一步上到第二台阶，所以有两种

第三台阶：我们首先可以从0台阶三部上到第二台阶，其次可以先两步上第二台阶，再一步上第三台阶，同样也可以先一步上到第一台阶，再两步上到第二台阶，最后是一步一步上到第三台阶，总共有四种上去的方法。

那这里有没有什么规律呢？

我们已经知道上第一台阶只有一种方法，上第一台阶后我们可以再跨两步上到第三台阶，这便成为了上第三台阶的一种方式！
同样，我们知道上第二台阶有两种方法，这两种方法再跨一步就可以上到第三台阶，这不就成为了上第三台阶的两种方式了嘛
第四种方法是从0台阶跨三步，这里没有明显的规律，我们接着看第四台阶

第四台阶：根据我们从第三台阶发现的一点规律，我们在这里观察一下

首先，我们要清楚，我们最高只能走三步，也就是想走三步我们只能从第一台阶走

我们已经知道上第一台阶有一种方法，那上到第一台阶后再跨三部到第四台阶，就是我们上第四台阶的一种方式。
同样，我们知道上第二台阶有两种方法，这两种方法再跨两步可以上到第四台阶，这不就成为了我们上第四台阶的方式了嘛。
最后，上第三台阶有三种方法，那这三种方法再跨一步可以上到第四台阶，就是我们上到第四台阶的四种方式。

我们可以发现，上第四台阶的方法是上前面三个台阶的方法之和：1+2+4=7

综上，我们已经发现规律：从第四台阶开始，上每一台阶的方法是上前面三个台阶的方法之和

二、算法原理

1、状态表示

我们在状态标识的时候，一般都会创建一个数组dp，也就是我们所说的dp表，我们要做的就是把每一个状态的值填入这个表内，最终这个表内的某一个值可能就是我们要返回的值。

状态简单理解就是dp表内某一个值代表的含义。

我们通常选择以一个位置为开始为开始或者为结尾

如何确定状态表示

题目要求

简单的题目里一般会给出

经验+题目要求

越学越深入，动态规划也是熟能生巧，在题目中没有明显给出的时候，我们就要凭借自己做题的经验来确定，所以就需要我们大量的做题。

分析问题的过程中，发现重复子问题

分析问题的过程中把重复子问题抽象成我们的状态表示，这个更难理解，一切的基础都是我们先对动态规划算法熟练运用。我也不懂，我们慢慢来。

那我们这道题的状态表示应该是什么呢？

根据我们对题目的了解，题目让我们求上到第n台阶的方法有多少，那我们创建一个数组dp，让dp[n]表示我们到达第n台阶的方法有多少。

2、状态转移方程

确定状态表示之后我们就可以根据状态标识推出状态转移方程

状态转移方程是什么？

不讲什么复杂的，简单来说状态转移方程就是 dp[i]等于什么 dp[i]=？

这个就是状态转移方程，我们要做的，就是推出dp[i]等于什么

我们根据状态表示再结合题目+经验去推理转移方程，这一步也是我们整个解题过程中最难的一步

我们在这道题先简单了解下什么是状态转移方程，之后比较难的题目再细推

根据我们在题目解析中发现的规律：从第四台阶开始，上每一台阶的方法是上前面三个台阶的方法之和

我们可知状态转移方程为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]

3、初始化

我们创建dp表就是为了把他填满，我们初始化是为了防止在填表的过程中越界或者其它小的错误

怎么谈越界？

当i等于1时，dp[i-2],dp[i-3]都是越界，根本没有这个台阶，所以我们要进行初始化。

我们这道题也可以知道，规律是从第四台阶开始的，所以我们初始化前三台阶，是为了后面更好的进行

初始化：dp[1]=1 dp[2]=2 dp[3]=4

注：这里的下标没有错，我们为了做题更好理解，再对数组dp进行定义时会比台阶数多1，这样下标就与台阶对应，更好的理解！

4、填表顺序

注意填表顺序，是因为我们需要在填当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了

这个意思就是，我们在填状态dp[4]的时候，我们就已经知道其所需要的dp[1]、dp[2]、dp[3]状态的值了，那假如我们直接填dp[4]，可其所需要的状态dp[3]我们还没填，所以就计算不出来我们当前状态dp[4]的值，所以填表顺序也是需要考虑的一项

这道题的填表顺序就是我们需要从状态dp[4]开始，依次填表。

5、返回值

返回值就是我们最后需要求出的值，在这里也就是我们我们的数组dp的最后一个数dp[n]。返回值一般通过题目要求和状态表示来判断出来。

以上就是我们算法原理的五步，这五步完成，其实我们就已经可以解题了。

三、编写代码

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) {
//细节问题
        const int Mod=1e9+7;
        if(n==1||n==2)
        {
            return n;
        }
        if(n==3)
        {
            return 4;
        }
//1、创建dp表
        vector<int> dp(n+1);
//2、初始化
        dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=4;
//3、填表
        for(int i=4;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%Mod+dp[i-3])%Mod;
        }
//4、返回值
        return dp[n];
    }
};

问题解释：