1. 认识二分查找
二分查找也被称为折半查找，他是一种查询效率较高的查找方式，普通查找的方式通常是从头到尾遍历一遍数组，二分查找的方式是找到数组中间的那个元素mid与目标值target进行比较，比target小就去前半段找，大则往后半段，所以每次都能舍去一半的空间，也就是指数级别的。二分查找的效率是O(logN)。
如下是二分查找和直接遍历的演示。
最终我们发现二分查找用了3步找到了37，而直接遍历用了11步。你可能会觉得差距不大，那只是因为数据量太小了，如果现在有2^32个数，考虑最坏情况，直接遍历需要2^32次，而二分查找只需要32次。
2. 二分查找的条件
网上很多文章说二分查找的前提是数组有序，这种说法是不严谨的。
其实二分查找的条件是：数组中任意一个数，可以满足：以这个数为边界，可以将数组分成两个部分，将这个数与目标值进行比较，每次都可以舍去其中一个部分，选择另外一个区域继续查找。
也就是说只要满足二段性就可以二分。
而数组有序就是满足二段性的最常见的场景，数组中任意一个数都可以满足，这个数之前的所有数都是<当前数，这个数后面的所有数都是>=当前数的。
3. 二分查找模板
为什么要学习二分查找的模板，因为二分查找如果不注意非常容易写出死循环，而我们如果记住了二分的模板，可以有效避免这个问题。对于二分的模板，最好是理解性记忆，知道这个模板怎么来的，在这个基础上去记忆。
3.1 朴素二分
二分中最简单的一种情况，也就是上面动图所演示的。朴素二分指的就是要找到数组当中确定的一个数target
以一道例题带大家了解一下，题目链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）
首先，这题是满足二段性的（数组有序），所以我们可以使用二分，第二点就是我们要找的是具体一个数，所以采用朴素二分的办法。
朴素二分的步骤：
- 1. 设置两个指针left，right（这里的指针不是C语言中的指针，只要是可以用来标记区域的都可以称之为指针）。
- 2. 让mid = (left + right) / 2，即找到left和right的中间点，此时mid对应的值x有三种情况x < target, x > target, x = target。
- 3. 如果x < target，那么说明target在的位置是一定在mid的右边的，那我们可以让left = mid + 1；如果x > target，那么说明target的位置是一定在mid左边的，我们可以让right = mid - 1；如果x = target，说明mid位置的值就是我们要找的，直接返回即可。
注意事项：
- 循环结束条件是left <= right，而不是left < right。因为可能存在数组只有一个数，而left，right都为0，此时不会进入二分查找的判断逻辑中。
- mid = (left + right) / 2的写法是是向下取整，例如有4个数，进行计算后，mid为第二个数；在朴素二分中，也可以写成向上取整，即mid = (left + right + 1) / 2。
- 强调上面两点主要是为了后面两个模板做铺垫。
那我们可以很轻松的写出朴素二分的代码：
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else
return mid;
}注意这里的mid的写法，如果mid写成 mid = (left + right) / 2的方式，那么如果left和right比较大的话，mid可能会出现越界的情况，为了避免这种方式，我写成了 mid = left + (right - left) / 2; left其实就是两个数中较小的那个，right - left是两个数据的差值，再除2，就相当于是将right比left多的那一半给了left，这种写法是不会越界的。还有一点就是 / 2可以替换成 >> 1，>>是位运算，>> 1相当与 / 2，<< 1相当于 * 2，位运算的速度是比乘除法快的，不习惯的同学直接写成mid = left + (right - left) / 2。
我们可以开始尝试解决上面那个题目了
class Solution
{
public:
int search(vector<int>& nums, int target)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else
return mid;
}
//没有找到目标值target
return -1;
}
};3.2 查找左端点和右端点
大部分二分的题目其实是查找左端点以及右端点这类题的，左端点的意思就是一段区域的起始点，右端点和左端点类似，就是一段区域的终止点。
还是以一道例题来说明，题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）
先考虑能否使用二分，我们发现数组是有序的，满足二段性，可以使用二分。我们就以示例一为例子，如果我们要找到8的开始位置和结束位置，最快的办法就是找到第一个8的位置（左端点）和最后一个8的位置（右端点）。
我们先考虑，如何找到左端点，也就是第一个8的位置。
- 1. 设置两个指针left, right。
- 2. mid = (left + right) / 2，找到中间点，同样中间点mid对应的值x有两种情况，第一种x < target，那么target肯定在x的右边，我们让left = mid + 1；第二种x >= target，这种情况下，左端点可能就是mid，也有可能在mid左边，我们让right = mid。
对于x >= target为什么要将两种情况合成一种情况，在这道题中确实可以分成两种，因为当 x > target的时候，mid的位置必定不可能是左端点，也就是说左端点一定在mid的左边，可以让right = mid - 1，而x = target的时候，mid位置可能是左端点，也可能不是左端点（例如，mid可能指向的是第二个8），此时我们让right = mid。但是对于大部分的找左端点题目来说，x > target不能说明要找的位置在mid左边，为了普适模板，所以我们合并成两种情况。
注意事项：
- 1. 循环条件要写成left < right，如果写成left <= right，那么mid = left = right时，如果此时的判断条件是x >= target，那么right = mid，也就是说right值不变，下一次还是会经历上面的步骤，最终导致死循环。
- 2. 求mid要写成mid = (left + right) / 2，而不是mid = (left + right + 1) / 2。如果写成后面那种，同样也会死循环，比如[1, 2], target = 2，left=0，right=1，计算后mid=1也就是2的位置，进行判断，x >= target，也就是让right = mid。right值不变，发生死循环。
根据上面内容，我们可以写成二分查找左端点的模板：
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left>> 1);
if (....)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}其中的....需要根据不同的题目来填写。
同样的查找右端点也是同样的道理。
- 1. 设置两个指针left, right。
- 2. mid = (left + right) / 2，找到中间点，同样中间点mid对应的值x有两种情况，第一种x <= target，那么mid位置可能就是右端点，也可能不是，让left = mid，第二种情况，x > target，那么右端点一定在mid的左边，让right = mid - 1。
注意事项：
- 1. 循环条件要写成left < right，如果写成left <= right，那么mid = left = right时，如果此时的判断条件是x >= target，那么right = mid，也就是说right值不变，下一次还是会经历上面的步骤，最终导致死循环。
- 2. 求mid要写成mid = (left + right + 1) / 2，而不是mid = (left + right) / 2。如果写成后面那种，同样也会死循环，比如[1, 2], target = 1，left=0，right=1，计算后mid=0也就是1的位置，进行判断，x <= target，也就是让left = mid。left值不变，发生死循环。
二分查找右端点代码：
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1 >> 1);
if (....)
right = mid - 1;
else
left = mid;
}其中的....需要根据不同的题目来填写。
这两个模板看着非常相似，主要的区别在于mid是否要+1，我们可以记一下，只要下面出现mid - 1，上面mid就+1。
现在有了具体的模板就可以开始写题了，如果套模板，二分只要能找到二段性就非常简单，而且不用担心死循环。
class Solution
{
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
{
if (nums.size() == 0)
return {-1, -1};
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
//先查找区间的左端点
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
if (nums[left] != target)
return {-1, -1};
int begin = left;
//查找区间右端点
right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1 >> 1);
if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else
left = mid;
}
return {begin, right};
}
};4. 二分例题
下面将用几道例题带大家彻底掌握二分。
4.1 x的平方根
题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）
这题乍一看和二分没什么关系，那我们可以先考虑暴力解法，就是从1-x进行遍历，依次判断，直到出现满足题意的数。
那么这道题也就转化成了从1-x中查找一个数，因为是有序的，具有二段性，所以我们可以使用二分查找，又因为这道题是要找到最后一个数，这个数的下一个数的平方就大于x了，也就是说我们需要找区间右端点，我们回忆一下右端点的模板。
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1 >> 1);
if (....)
right = mid - 1;
else
left = mid;
}判断条件只需要改成mid * mid > x即可，因为mid位置的平方大于x，那说明mid位置肯定不是平方小于x的最后一个数。最终代码如下：
class Solution
{
public:
int mySqrt(int x)
{
int left = 1;
int right = x;
while (left < right)
{
long long mid = left + (right - left + 1 >> 1);
if (mid * mid > x)
right = mid - 1;
else
left = mid;
}
return right;
}
};4.2 搜索插入位置
题目链接：LCR 068. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）
在一个有序数组中查找某个值，我们最先想到的就是二分，这道题也是符合二段性的，任意一个数x都能将数组分成两个区间，其中一个区间<x, 另一个区间>=x。这道题的二分判断条件就是找到第一个>=target的数，这个数所在的位置就是答案，返回他的下标即可，也就是找区间的左端点，那我们直接套模板。
需要注意的是，如果target的位置在数组中最后一个位置的后面，这种情况要特殊处理，因为left和right指针只能在数组范围内移动，不能超出数组范围。
class Solution
{
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
//找 >= target的第一个数
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left>> 1);
if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
//如果插入的位置在最后一个位置之后
if (nums[right] < target)
return right + 1;
else
return right;
}
};4.3 山脉数组的峰顶索引
题目链接：LCR 069. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）
由题目意思可以得出，数组中有且只有一个峰顶，并且峰顶不是数组的第一个和最后一个，我们先考虑这题是否满足二段性，我们随意取一个值x，有三种情况，1.x比右边的值小，那么x肯定不是峰顶元素，也就是说峰顶一定在x的右边，2.x比左边的值小，x肯定不是峰顶，峰顶在x左边，3.x比左右两边的值都大，那么x就是峰顶。
我们发现这道题的数组虽然无序，但是满足二段性，所以我们依然可以使用二分查找来处理问题。
根据上面总结的，可以看出这题是一个朴素二分，直接套模板即可。
class Solution
{
public:
int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
{
int left = 0;
int right = arr.size() - 1;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (arr[mid] < arr[mid + 1])
left = mid + 1;
else if (arr[mid] < arr[mid - 1])
right = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
};4.4 寻找峰值
题目链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
这题和上一题相似，但是不同的是，这题有多个峰值，并且数组的第一个和最后一个元素是可以为峰值的。
那么这题如何得出二段性呢，二段性指的是数组中任意一个数都能满足，这个数能将数组分成两部分，我们可以舍弃一部分，转而去另一部分继续查找。
我们随便取一个数x，设y为x的下一个数，这个数有两种情况，如果x > y，说明x可能是山顶，那我们可以舍弃x右边的那个部分，去x的左边进一步判断；如果x < y，说明x不可能是山顶，并且x右边区域一定有一个山顶，那我们可以舍弃x左边，去右边进一步判断，综上，这题也是具有二段性的。
如何编写代码呢，我们先看一下这个属于哪种类型的二分，当x < y时，峰顶在x右边，当x > y时，x可能是峰顶，也可能不是，根据这个逻辑，我们可以看出和查找左端点的逻辑是相同的，尝试一下编写代码。
class Solution
{
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (nums[mid] > nums[mid + 1])
right = mid;
else
left = mid + 1;
}
return left;
}
};这个代码不用担心mid指向最后一个数时，与mid+1进行比较会发生越界访问，因为mid指向最后一个数时，只有可能left和right都指向最后一个数，那么这时不满足循环条件，直接退出了。
4.5 寻找旋转排序数组中的最小值
题目链接：153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
这道题也是二分中比较经典的一题，也很好证明了即使数组不是有序的也能二分。
首先，我们先证明一下这题可以二分，也就是具有二段性。
根据题目所示，将数组分成两个部分，AB和CD，其中AB中任意一点都比CD中任意一点要大，我们最终要找的点是C点。其中有两个比较特殊的点，A和D，我们以D为例，我们可以发现一个现象，AB中任意一个数都比D要大，CD中任意一个数都小于等于D（可能为D本身）
现在我们任意取一个数x，如果x是AB中的某一个数（x > D)，那么说明x的左边肯定是没有结果的，我们可以舍弃左边取x的右边查找，同理，如果x是CD中的某一个数（x <= D)，那么说明接下来要去x的左边查找。
综上，我们可以得到二段性，也就满足了二分条件。这题很明显是找区间左端点，那么套模板，很容易就能写出代码。
class Solution
{
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size() - 1;
int left = 0;
int right = n;
//当mid > nums[n]时，那么mid肯定不是最小的那个数，所以让left = mid + 1
//当mid < nums[n]时，mid可能是最小的那个值，让right = mid
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (nums[mid] > nums[n])
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
return nums[left];
}
};4.6 0~n-1中缺失的那个数
题目链接：LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）
这题也是剑指offer中的一题，有很多种解法，例如：
- 1.哈希表（创建一个大小为n+1的哈希表，遍历一遍数组，将出现过的数填入哈希表中，然后再次遍历找到哈希表中没有出现过的数）
- 2.直接遍历（使用一个i从0到n，如果records[i] != i，那么就是缺失的那个数）
- 3.等差数列求和（使用等差数列求和公式求出首项为1，尾项为n的值，再减去数组中每一个数就能得出缺失的那个数）
- 4.使用位运算（位运算的特点是a ^ a = a，a ^ 0 = 0，根据这个特点，我们将0~n-1全部异或一遍，再和数组中的值全部异或一遍，就能得出结果）
但是这道题目最优的解法其实是二分查找，只不过二分条件不容易想到，其实只要仔细观察我们就会发现，数组和下标一样从0开始，并且每次+1，也就是说，缺失的那个数开始，数组和下标就对应不上了。
二段性也比较好证明，如果一个数组值和下标值相同，那么这个数的左边就可以舍去了，转而去这个数的右边查找，如果一个数组值和下标值不同，说明这个数左边或者这个数本身出问题了，舍弃这个数右边的部分，去查找左边。
这题很明显是找左端点，因为找的是第一个数组值和下标值不同的，所以套左端点模板即可。
需要注意的是，如果0~n-1的数在数组中全部出现了，也就是说缺失的其实是n，也就超出了数组范围，我们需要特殊处理一下。
class Solution
{
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
//如果要找的数不在数组[rescords[left], rescords[right]]范围内
//直接返回结果
int n = records.size();
if (n != records[n - 1])
return n;
//二分规律：[0,1,2,3,5]
//对应下标: [0,1,2,3,4]
//我们发现缺少的那个数就是数值与下标不同的第一个数，满足二段性
int left = 0;
int right = n - 1;
while (left < right)
{
int mid = left + (right - left >> 1);
if (records[mid] == mid)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
return left;
}
};5. 总结
二分是查找算法中比较高效的，时间复杂度是O(logN)，当面临需要查找的问题时，如果满足二段性，我们就可以使用二分查找来提高查找效率。
模板最好也要记住，因为二分非常容易写出死循环，在查找左右端点的那里，我们也分析了循环条件不对，mid是否需要+1都会导致死循环的出现，在实际写代码时，我们需要注意避免这些问题。
