黄小宁

2300年前的古人认为凡懂什么是直线的人都知过两异点只能画一条直线从而有初中的2300年直线公理，继而有平行公理和平面公理等。然而数集相等概念凸显直线公理使数学一直将无穷多各异直线误为同一线。

变量x所取各数也均由x代表。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。其余类推。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。数集A可几何化为数轴上的点集A从而使x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在“管道”g内。R可几何化为R轴。

数集相等的定义：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元x与B各元y可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B。A各元x变为y=x称为A的恒等变换。本文最关键的论据：若A=B则A必能（不是“只能”）恒等变换地变为B=A即必可有x↔y=x。

{x}={1,2}各元x=h与各对应数y=x+3=h一一对应相等：x=h↔y=x+3=h；但要注意箭头两边的x不是同一x，此x=h，彼x=h-3，x=h的变域是{1,2}而x=h-3的变域是{1-3=-2,2-3=-1}。

R各元x保距变为y=x+1组成元为y的｛y｝的几何意义可是R轴即x轴各元点x沿x轴方向保距平移变为点x+δ=y=x+1生成元为点y的y=x+1轴≌x轴即x轴沿本身平移距离1变为y=x+1轴叠压在x轴上。2300年直线公理使几百年解析几何一直认定y轴=x轴。

R各元x的对应y=x+1的全体R′=｛y｝，显然R绝大多数元x=h都有与之对应相等的元y=x+1=h∈R′。R各元x=h与各对应x+1=h一一对应相等：x=h↔x+1=h，箭头两边的x不是同一x，此x=h，彼x=h-1，x=h的变域是R。要特别注意：x+1=h的变域是R不等于x+1>x中的x+1的变域是R。

R轴即x轴沿本身平移距离|c|变为y=x+c轴≌x轴。在一维空间中的点集的各种平移变换：x↔y=x+c（↔两边的x是同一x）中显然当且仅当常数c=0时才能是恒等变换而有x↔y=x+c=x即当且仅当平移的距离|c|=0时x轴各元点x与y=x+c轴各元点y才能一一对应相等。点集W各元点运动后还回到原位置的变换称为W的恒等变换。观察空间点集W的平移可知：在W的各种平移变换中显然当且仅当平移的距离=0时才能是恒等变换的平移。故应有：h几何起码常识（见图片中的科普短文）:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）。

可见数集相等概念凸显x轴沿轴平移变为y=x+n轴≠x轴（n=1，2，3，…）。