逆元
概述
如果一个线性同余方程ax≡1（mod b）,则称x是a mod b的逆元，记作a-1。
扩欧求逆元
1.void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
2. if (b == 0) {
3. x = 1, y = 0;
4. return;
5. }
6. exgcd(b, a % b, y, x);
7. y -= a / b * x;
8.}
费马小定理求逆元
费马小定理：若存在整数a,p且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡1(mod p)。
此时 a^(p-2)是a mod p的逆元
由于p一般很大，用快速幂来求
1.ll qpow(ll a,ll n)
2.{
3. ll ans=1;
4. while(n)
5. {
6. if(n%2) ans=ans*a%mod;
7. a=a*a%mod;
8. n/=2;
9. }
10. return ans;
11.}
线性求逆元
求1-n的逆元
1.inv[1] = 1;
2.for (int i = 2; i <= n; ++i) {
3. inv[i] = (long long)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
4.}
求给定n个数的逆元
首先计算n个数的前缀积，记为prei，然后使用快速幂或扩展欧几里得法计算pren 的逆元，记为Invn 。
因为Invn是n个数的积的逆元，所以当我们把它乘上an时，就会和an的逆元抵消，于是就得到了a1 到an-1的积逆元，记为Invn-1。
同理我们可以依次计算出所有的Invi，于是ai-1就可以用prei-1*Invi求得。
所以我们就在O(n+logp)的时间内计算出了n个数的逆元。
1.void init()
2.{
3. pre[0] = 1;
4. for (int i = 1; i <= n; ++i) pre[i] = pre[i - 1] * a[i] % p;
5. inv[n] = qpow(pre[n], p - 2);
6. // 当然这里也可以用 exgcd 来求逆元,视个人喜好而定.
7. for (int i = n; i >= 1; --i) inv[i - 1] = inv[i] * a[i] % p;
8. for (int i = 1; i <= n; ++i) inv[i] = inv[i] * pre[i - 1] % p;
9.}
经典例题
LiberOJ #161 乘法逆元2
题目描述
这可能是一道模板题。
给定 个正整数 ，求每个数在模 意义下的乘法逆元。
提示：请使用高效的读入方式。
输入格式
第一行一个整数n。
第二行n个整数ai。
输出格式
一行一个数，表示Σi=1nai*998244353n-i（mod p）
输入样例
5
4 7 8 12 123456
输出样例
650798912
题解：
1.#include<bits/stdc++.h>
2.using namespace std;
3.typedef long long ll;
4.const ll mod=1e9+7;
5.const ll N=998244353;
6.ll a[5000005];
7.ll pre[5000005];
8.ll qpow(ll a,ll n)
9.{
10. ll ans=1;
11. while(n)
12. {
13. if(n&1) ans=(ans%mod)*(a%mod)%mod;
14. a=a*a%mod;
15. n/=2;
16. }
17. return ans;
18.}
19.
20.int read() {
21. int x=0,f=1;
22. char c=getchar();
23. while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
24. while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
25. return x*f;
26.}
27.ll inv[5000005];
28.int main()
29.{
30. int n;
31. scanf("%d",&n);
32. pre[0]=1;
33. ll ans=0;
34. for(int i=1;i<=n;i++)
35. {
36. a[i]=read();
37. pre[i]=pre[i-1]*a[i]%mod;
38. }
39. inv[n]=qpow(pre[n],mod-2);
40. for(int i=n;i>=1;i--) inv[i-1]=inv[i]%mod*a[i]%mod;
41. for(int i=1;i<=n;i++)
42. {
43. ans=ans*N%mod+inv[i]*pre[i-1]%mod;
44. }
45. printf("%lld\n",ans%mod);
46. return 0;
47.}
