【Python 千题 —— 算法篇】寻找两个正序数组的中位数

news2024/12/23 5:09:07

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题目背景

在处理大规模数据时，我们经常需要对数据进行排序和分析。一个常见问题是如何高效地从两个正序数组中找出它们的中位数。该问题不仅是算法面试中的经典题目之一，还在数据分析、统计学等多个领域有实际应用。

求解两个正序数组的中位数是一种复杂的计算，因为它要求我们在保证时间复杂度足够低的情况下，不破坏正序数组的性质。理解和解决这个问题，可以大幅提升我们在算法设计与优化上的能力。

题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个正序数组的中位数，要求算法的时间复杂度为 O(log(m+n))。

你需要实现一个函数 findMedianSortedArrays()，该函数接收两个正序数组 nums1 和 nums2 作为输入，并返回它们的中位数。

输入描述

两个正序数组 nums1 和 nums2，每个数组的长度在 [0, 1000] 之间，且元素是有序的整数。

输出描述

一个浮点数，表示两个数组合并后的中位数，结果需要保留到小数点后 1 位。

示例

示例 ①

输入：

# 调用 findMedianSortedArrays() 函数
print(findMedianSortedArrays([1, 3], [2]))

输出：

2.0

解释：合并数组 [1, 2, 3]，中位数是 2。

示例 ②

输入：

print(findMedianSortedArrays([1, 2], [3, 4]))

输出：

2.5

解释：合并数组 [1, 2, 3, 4]，中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5。

代码讲解与多种解法

解法一：合并排序法

一种直观的解法是将两个数组合并为一个，然后对合并后的数组进行排序。排序后，根据数组长度的奇偶性判断并找到中位数。这种方法虽然易于理解，但时间复杂度为 O((m + n)log(m + n))，在效率上不够理想。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    merged = sorted(nums1 + nums2)
    n = len(merged)
    
    if n % 2 == 1:
        return merged[n // 2]
    else:
        return (merged[n // 2 - 1] + merged[n // 2]) / 2

优点：

思路清晰，容易实现。

缺点：

时间复杂度较高 O((m + n)log(m + n))，尤其在数据规模较大的情况下效率较低。

解法二：双指针法

双指针法通过利用两个数组已经排序的特点，不需要完整合并数组，而是使用双指针遍历两个数组，逐步找到中位数位置。这种方法的时间复杂度为 O(m + n)，比合并排序法有所改进，但不符合 O(log(m + n)) 的要求。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    merged = []
    i, j = 0, 0
    
    while i < m and j < n:
        if nums1[i] < nums2[j]:
            merged.append(nums1[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(nums2[j])
            j += 1
    
    merged += nums1[i:] + nums2[j:]
    total_len = m + n
    
    if total_len % 2 == 1:
        return merged[total_len // 2]
    else:
        return (merged[total_len // 2 - 1] + merged[total_len // 2]) / 2

优点：

时间复杂度降为 O(m + n)，相较于合并排序法更加高效。

缺点：

时间复杂度仍然不满足 O(log(m + n)) 的要求。

解法三：二分查找法

为了满足时间复杂度 O(log(m + n)) 的要求，我们可以采用二分查找的方法。在两个数组中使用二分查找法寻找中位数，核心思想是通过划分两个数组，使得左半部分的所有元素都小于右半部分的所有元素。

我们可以通过在较短的数组中使用二分查找，不断调整两个数组的划分位置，直到找到合适的中位数。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1
    
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
    
    while imin <= imax:
        i = (imin + imax) // 2
        j = half_len - i
        
        if i < m and nums1[i] < nums2[j - 1]:
            imin = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i - 1] > nums2[j]:
            imax = i - 1
        else:
            if i == 0: max_of_left = nums2[j - 1]
            elif j == 0: max_of_left = nums1[i - 1]
            else: max_of_left = max(nums1[i - 1], nums2[j - 1])
            
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left
            
            if i == m: min_of_right = nums2[j]
            elif j == n: min_of_right = nums1[i]
            else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
            
            return (max_of_left + min_of_right) / 2