特征值分解(EVD)和奇异值分解(SVD)—应用于图片压缩

目录

前言

一、特征值分解

二、应用特征值分解对图片进行压缩

三、矩阵的奇异值分解

四、应用奇异值分解对图片进行压缩

五、MATLAB仿真代码

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前言

        学习了特征值分解和奇异值分解相关知识，发现其可以用于图片压缩，但网上没有找到相应代码，本文在学习了之后编写出了图片压缩的代码，发现奇异值分解的效果要远好于特征值分解，本文在此简要记录一下。

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提示：以下是本篇文章正文内容，欢迎各位阅读，转载请附上链接。

一、特征值分解

特征值分解英文缩写为EVD，全称为eigenvalue decomposition。

如果说一个向量是m×m阶方阵的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

这种形式在数学上的含义：描述的是矩阵对向量的变换效果只有拉伸，没有旋转。(因为这个值是一个数值)，这时候就被称为特征向量对应的特征值。

那么方阵可以表示成

即

那么就可以得到方阵的特征分解公式：

总结：特征分解，可以得到个m特征向量和特征值，利用这m个特征（代表这个矩阵最重要的特征），就可以近似这个矩阵。

二、应用特征值分解对图片进行压缩

假设原图大小为m×m，保留前k个特征值需要存储的点数为m×k+k+k×m，定义压缩率为：

r=（m×k+k+k×m）/（m×m）。

下面是一张大小为1024×1024大小的图片。

保留前10个特征值（压缩率为0.0196）可得到下图：

保留前100个特征值（压缩率为0.2048）可得到下图：

保留前200个特征值（压缩率为0.4288）可得到下图：

保留前500个特征值（压缩率为1.2150）可得到下图：

保留前988个特征值（压缩率为2.8606）可得到下图：

总结：这张原始图片的秩为988，发现保留前988个特征值就能完全恢复原图像，但是会发现保留特征值个数太多，其实并没有起到压缩的作用。因此特征值分解的确能压缩图片，但是恢复的效果不是很好，而且仅仅适用于方阵。所以接下来继续介绍矩阵的奇异值分解。

三、矩阵的奇异值分解

奇异值分解英文缩写为SVD，全称为singular value decomposition。

先上结论：对于任意一个矩阵m×n阶矩阵，我们都可以将它分解为

其中U，V是正交矩阵，∑是对角矩阵，其主对角线上的每个值我们称为奇异值。

具体原理推导可以参考文章：奇异值分解（SVD分解）———超详细讲解-CSDN博客

本文重在应用。

四、应用奇异值分解对图片进行压缩

假设原图大小为m×n，保留前k个奇异值需要存储的点数为m×k+k+k×n，定义压缩率为：

r=（m×k+k+k×n）/（m×n）。

还是刚才那张大小为1024×1024大小的图片。

保留前10个奇异值（压缩率为0.0195）可得到下图：

保留前100个奇异值（压缩率为0.1954）可得到下图：

保留前200个奇异值（压缩率为0.3908）可得到下图：

保留前300个奇异值（压缩率为0.5862）可得到下图：

总结：可以看出奇异值分解的效果比特征值分解好的多，能在起到压缩大小的情况下还能比较好的保留原图像的效果。

五、MATLAB仿真代码

https://download.csdn.net/download/m0_66360845/89724139https://download.csdn.net/download/m0_66360845/89724139