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2.1问题一的分析

本文建立了基于参数方程的运动学模型：假设龙头沿着一个由螺线形成的路径运动。用极坐标公式表示螺线。龙头的速度是已知的常数值 v，根据螺线公式和速度的关系，可以推导出龙头位置随时间的变化。之后分析龙身关节运动，每个关节的位置可以通过沿着龙头的运动方向延伸得到。假设每个关节之间的距离是常数，这样可以通过偏移角度来计算每个关节的位置。

2.2问题二的分析

      第二问要求我们找出板凳龙盘入过程中各个关节的位置和速度，并确定其在碰撞发生时刻的位置和速度。首先根据题干提供的板凳龙的尺寸参数，科学设置碰撞阈值，之后计算龙头和各个关节在不同时间步的位置信息，检测关节之间的碰撞情况，并在碰撞发生时记录各个关节的位置和速度，然后将这些数据可视化。

2.3问题三的分析

首先进行参数初始化：确定调头空间的直径和半径。确定盘入角度变化范围(如θmax=4π) 。 确定龙头、龙身和龙尾的尺寸和数量。之后定义优化目标：目标函数为最小化螺距a。使用线性规划方法来求解最小螺距。构建三个约束条件：最大半径约束，即确保螺旋线的最大半径不超过调头空间的半径。龙头长度约束，即确保螺旋线的初始部分能够容纳龙头。龙身长度约束，即确保螺旋线的总长度能够容纳整个龙身。之后采用线性规划模型求解，使用Python的scipy.optimize.linprog来求解最小螺距a。
分享部分代码：

clc;close all
warning off
luoju=55e-2; % 螺距
k=luoju/2/pi; % 螺线方程的系数 r=k theta
L1=341e-2;
D1=L1-27.5e-2*2; % 龙头把手两个孔之间的距离
L2=220e-2;
D2=L2-27.5e-2*2; % 其他凳子把手两个孔之间的距离

%% 先画出部分螺线
theta=16*2*pi:-0.01:0*pi;
r=k*theta;
x=r.*cos(theta);
y=r.*sin(theta);
figure(1)
set(gcf,'Position',[200 200 600 600]);
plot(x,y,'--')
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
hold on
% 第一步，先确定300s内，龙头第一个把手的位置演化
mydtheta=@(t,theta)-1./(k*sqrt(1+theta.^2));
theta0=2*pi*16; % 初始位置时候的角度
dt=0.1; % 时间步长
tspan=0:dt:300; % 求解时间点
[tt,theta]=ode45(mydtheta,tspan,theta0); % 龙格库塔法求解
X1=k*theta.*cos(theta);
Y1=k*theta.*sin(theta);
for i=1:10:length(theta)
    title({['t=',num2str(tt(i))],'小哭包老师出品','头部第一个把手中心的轨迹'})
    plot(X1(i),Y1(i),'r.','MarkerSize',10)
    drawnow
end
hwait=waitbar(0,'计算开始...')
%% 第二步,确定每个时间点下，头部凳子的后面一个孔（也要在螺线上）,以及龙身和龙尾凳子各个孔所在位置(都要在螺线上）
N=223; % 龙头+龙身+龙尾总的个数
X=nan*zeros(N+1,length(X1)); 
Y=nan*zeros(N+1,length(X1)); % 每一行代表每个凳子的前把手孔的位置在各个时间点处的值,因为尾部还有一个孔，所以一共223+1个，所以X和Y对应223+1行
Theta=nan*zeros(N+1,length(X1)); % 记录每个孔在各个时刻处的位置对应的角度theta（这为了求速度的）
X(1,:)=X1;
Y(1,:)=Y1;% 第一行已知了，上面求得的头部第一个把手位置数据
Theta(1,:)=theta; % 第一行已知了，第一个把手的角度数据，上面求了
for j=1:length(tt)
    for i=2:N+1 % 在每一个时间点下，对每一行循环计算，意思是求出此时各个把手孔的位置信息
        d=D1*(i<=2)+D2*(i>2); % 分辨下是第一个凳子还是其他凳子，孔之间的距离不一样！