真题题目

已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:

typedef struct {                // MAX_STZE为已定义常量
    int SqBiTNode[MAX_SIZE];    // 保存二叉树结点值的数组
    int ElemNum;                // 实际占用的数组元素个数
} SqBiTree;

T中不存在的结点在数组SqBiTNode中用 -1 表示。例如，对于下图所示的两棵非空二叉树T1和 T2,

T1的存储结果如下：

T2的存储结果如下：

请设计一个尽可能高效的算法，判定一棵采用这种方式存储的二叉树是否为二叉搜索树，若是，则返回true，否则，返回false。要求:

1. 给出算法的基本设计思想。
2. 根据设计思想，采用C或 C++语言描述算法，关键之处给出注释。

---

（本文重点关注算法实现及思路分析，不含具体答题表述）

分析实现

首先，本题的思想与判断二叉树是否是BST相同，重点在于理解对于顺序存储这一点进行二叉树的基本操作。

由题例可知，最后一个叶结点前的空结点会用 -1 占位，而将 -1 也看作结点，就得到了完全二叉树。
对于完全二叉树的顺序存储有如下结论：结点[x]的左孩子为结点[2x+1]，右孩子为结点[2x+2]。运行这一结论就可以实现访问子结点的操作；

对于判断子结点是否为空，则需要考虑两个方面：
_1. 当前下标x是否小于结点个数T.ElemNum；
_2. 当前下标位置的元素[x]是否为 -1。

当确定了基本操作的实现后，本题就和判断二叉树是否是BST没有什么区别了，作为学习参考，此处采用中序遍历实现判断BST的工具函数。具体实现如下：

// 判断BST工具函数
bool judgeBSTUtil(SqBiTree& bt, int cur, int& preV){
    // 若cur为空结点
    if(cur>=bt.ElemNum || bt.SqBiTNode[cur]==-1) 
        return true;
        
    // 判断左子树
    if(!judgeBSTUtil(bt, 2*cur+1, preV)) 
        return false;
        
    // 判断当前结点
    if(bt.SqBiTNode[cur]<=preV) 
        return false;

    // 判断右子树
    preV=bt.SqBiTNode[cur];
    if(!judgeBSTUtil(bt, 2*cur+2, preV)) 
        return false;

    return true;
}

// 判断BST
bool judgeBST(SqBiTree& bt){
	int minV = INT_MIN;
    return judgeBSTUtil(bt, 0, minV);
}

---

总结

以上就是利用中序遍历判断顺序存储的二叉树是否为BST的实现，相较于先序遍历中每次传递min和max，以判断cur的值是否在(min, max)内；
中序遍历只需以引用方式传递preV，判单cur的值是否大于preV即可。

本题重点在于面对顺序存储的二叉树，通过结论实现基础操作，并合理运用解题。