目录
前言
一、递归是什么？
1. 递归的思想
2. 递归的限制条件
二、递归举例
1. 求n的阶乘
1.1 思路分析
1.2 画图推演
2. 顺序打印⼀个整数的每⼀位
2.1 思路分析
2.2 画图推演
三、递归与迭代
四、求第n个斐波那契数
总结
前言
我们在函数上已经非常了解了，现在我们来看看函数的递归；
正文开始：
一、递归是什么？
递归是学习C语⾔函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？
递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。
写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：
#include <stdio.h>
int main()
{
printf("hehe\n");
main();//main函数中⼜调⽤了main函数
return 0;
}
这个程序是个死循环，但是我们运行一下：
为什么不是死循环呢？
我们来调试一下：
Stack overflow,意思是栈溢出，如果各位看过小编的函数栈帧的那篇文章就知道，每调用一个函数，就会产生一个函数栈帧，知道这就不难理解了
函数栈帧的创建和销毁（VS2022）-CSDN博客文章浏览阅读534次，点赞23次，收藏29次。前期在学习的时候，我们可能有很多问题，比如局部变量如何创建的等......,学完这章的知识点，就都会了我们在写C语言代码的时候，经常会把一个独立的功能抽象为函数，所以C程序是以函数为基本单位的。那函数是如何调用的？函数的返回值又是如何待会的？函数参数是如何传递的？这些问题都和函数栈帧有关系。函数参数和函数返回值临时变量（包括函数的非静态的局部变量以及编译器自动生产的其他临时变量）保存上下文信息（包括在函数调用前后需要保持不变的寄存器。https://blog.csdn.net/2303_78558007/article/details/141639787?spm=1001.2014.3001.5501 上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。
其实stackoverflow是一个网站，你可以认为他是国外与计算机相关的知乎：
Empowering the world to develop technology through collective knowledge – Stack Overflow
https://stackoverflow.co/
1. 递归的思想
把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。
递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。
2. 递归的限制条件
递归在书写的时候，有2个必要条件：
- 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。
- 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。
在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件。
二、递归举例
1. 求n的阶乘
⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有⼩于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。⾃然数n的阶乘写作n!。
题⽬：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
举例：
5! = 5*4*3*2*1
4! = 4*3*2*1
所以:5! = 5*4!
1.1 思路分析
这样的思路就是把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。
当 n==0 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过公式计算。
n的阶乘的递归公式如下
那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶
乘，函数如下：
int Fact(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else //n > 0;
return n * Fact(n - 1);
}代码测试：
int Fact(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else //n > 0;
return n * Fact(n - 1);
}
int main()
{
int n = 0;
scanf("%d", &n);
int ret = Fact(n);
printf("%d\n", ret);
return 0;
}运行结果：
1.2 画图推演
到这我们可以顺便总结一下递归的特点：
- 这个例子的递归的条件是： n > 0,递归停下来的条件是n == 0；（有停下来的条件） ；
- 不断地逼近跳出的条件。
2. 顺序打印⼀个整数的每⼀位
输⼊⼀个整数m，打印这个按照顺序打印整数的每⼀位。
2.1 思路分析
这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？
如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n自己
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位
1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4
然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推
不断的 %10 和 /10 操作，直到1234的每⼀位都得到；但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的
难道我们要先将输入进去的数进行倒置，然后再打印吗？这个思路也可以，但是不是很明智，但刚开始学，不能怕麻烦
接下来，来看看我的思路：
我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到
那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表⽰
Print(n)
如果n是1234，那表⽰为
Print(1234) //打印1234的每⼀位
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每⼀位
2. printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印
那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)以此类推下去，就有
Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)
代码如下：
void Print(int n)
{
if (n > 9)
{
Print(n / 10);
printf("%d ", n % 10);
}
else
{
printf("%d ", n % 10);
}
}
int main()
{
int n = 0;
scanf("%d", &n);
Print(n);
return 0;
}运行结果：
在这个解题的过程中，我们就是使⽤了大事化小的思路
把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4
把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3
直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。
2.2 画图推演
三、递归与迭代
递归是⼀种很好的编程技巧，但是很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 1;
else
return n*Fact(n-1);
}Fact函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。
在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都要需要为本次函数调⽤在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow）的问题。
所以如果不想使⽤递归就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。
⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。
int Fact(int n)
{
int i = 0;
int ret = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
ret *= i;
}
return ret;
}
int main()
{
int n = 0;
int s = 0;
scanf("%d", &n);
s = Fact(n);
printf("%d\n", s);
return 0;
}上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰，但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。
当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运⾏时开销。
四、求第n个斐波那契数
裴波那切数列：1 1 2 3 5 8 13......（前两个数是1，第三个数开始，是前两个数之和）
我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：
测试代码：
int Fib(int n)
{
if (n <= 2)
return 1;
else
return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
int main()
{
int n = 0;
int s = 0;
scanf("%d", &n);
s = Fib(n);
printf("%d\n", s);
return 0;
}如果n过大，那么你的笔记本会非常“辛苦”，效率太低了
为什么呢？
我们可以画个树状图：
int count = 0;
int Fib(int n)
{
if (n == 3)
count++;
if (n <= 2)
return 1;
else
return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
int main()
{
int n = 0;
int s = 0;
scanf("%d", &n);
s = Fib(n);
printf("%d\n", s);
printf("count = %d\n", count);
return 0;
}我们来统计一下count（第三位被计算的个数）
这个如果画图的话，不出意外的有40层；
我们可以看到，这个数是个巨额数字；
这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得想迭代的⽅式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计算就⾏了。
int Fib(int n)
{
int a = 1;
int b = 1;
int c = 1;
while (n > 2)
{
c = a + b;
a = b;
b = c;
n--;
}
return c;
}
int main()
{
int n = 0;
scanf("%d", &n);
int ret = Fib(n);
printf("%d\n", ret);
return 0;
}
运行结果：
迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。
有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。
拓展学习：
• ⻘蛙跳台阶问题
• 汉诺塔问题
以上2个问题都可以使⽤递归很好的解决，有兴趣可以研究。
这两个问题有时间都会更新的，各位放心！
总结
这期我们主要讲了函数的递归，下期见，大三加油！六级加油！26考研加油！
