2. 数列极限
2.4 收敛准则
2.4.8 实数系的基本定理
- 确界存在定理（实数系的连续性）
- 单调有界数列收敛定理
- 闭区间套定理
- Bolzanp-Weierstrass（波尔查诺－魏尔斯特拉斯）定理
- Cauchy（柯西）收敛原理（实数系的完备性）
【注】从上往下可以依次推导得出
有理数集合不具有完备性，比如
{
(
1
+
1
n
)
n
}
\{(1+\frac{1}{n})^{n}\}
{(1+n1)n}是有理数列，但是
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
e
\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e
n→∞lim(1+n1)n=e，它的极限是无理数
e
e
e，它不具备完备性。
现在证明逆推也可以
【定理2.4.8】实数系的完备性等价于实数系的连续性
【证】（1）从Cauchy（柯西）收敛原理来证闭区间套定理。
{
[
a
n
,
b
n
]
}
\{[a_{n},b_{n}]\}
{[an,bn]}，
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
⊂
[
a
n
,
b
n
]
,
b
n
−
a
n
→
0
[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_{n},b_{n}],b_{n}-a_{n}\to 0
[an+1,bn+1]⊂[an,bn],bn−an→0
设
m
>
n
m>n
m>n，且有如下套区间（说明
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{an}单调增加，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{bn}单调减少，区间套的定义）：
0
<
a
m
−
a
n
<
b
n
−
a
n
→
0
(
n
→
∞
)
0<a_{m}-a_{n}<b_{n}-a_{n}\to 0(n\to\infty)
0<am−an<bn−an→0(n→∞)
说明
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{an}是基本数列，即
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{an}收敛，
lim
n
→
∞
a
n
=
ξ
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\xi
n→∞liman=ξ，则
lim
n
→
∞
b
n
=
ξ
\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=\xi
n→∞limbn=ξ
由于
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{an}单调增加，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{bn}单调减少，则
ξ
\xi
ξ是
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{an}的上界，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{bn}的下界，所以
ξ
\xi
ξ属于一切
[
a
n
,
b
n
]
[a_{n},b_{n}]
[an,bn]，又由于
b
n
−
a
n
→
0
(
n
→
∞
)
b_{n}-a_{n}\to 0(n\to\infty)
bn−an→0(n→∞)所以
ξ
\xi
ξ唯一
（2）由比区间套定理证明确界存在定理。
设
S
\textbf{S}
S是非空有上界数集，记
S
\textbf{S}
S的上界构成的集合为
T
\textbf{T}
T，
先取
a
1
∉
T
,
b
1
∈
T
a_{1}\notin\textbf{T},b_{1}\in\textbf{T}
a1∈/T,b1∈T，则有闭区间
[
a
1
,
b
1
]
[a_{1},b_{1}]
[a1,b1]
再取
[
a
2
,
b
2
]
=
{
[
a
1
,
a
1
+
a
1
2
]
,
a
1
+
b
1
2
∈
T
[
a
1
+
a
1
2
,
b
1
]
,
a
1
+
b
1
2
∉
T
[a_{2},b_{2}]=\left\{\begin{array}{l} [a_{1},\frac{a_{1}+a_{1}}{2}]&,\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\in\textbf{T}\\ [\frac{a_{1}+a_{1}}{2},b_{1}]&,\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\notin\textbf{T} \end{array}\right.
[a2,b2]={[a1,2a1+a1][2a1+a1,b1],2a1+b1∈T,2a1+b1∈/T
取
[
a
3
,
b
3
]
=
{
[
a
2
,
a
2
+
a
2
2
]
,
a
2
+
b
2
2
∈
T
[
a
2
+
a
2
2
,
b
2
]
,
a
2
+
b
2
2
∉
T
[a_{3},b_{3}]=\left\{\begin{array}{l} [a_{2},\frac{a_{2}+a_{2}}{2}]&,\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\in\textbf{T}\\ [\frac{a_{2}+a_{2}}{2},b_{2}]&,\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\notin\textbf{T} \end{array}\right.
[a3,b3]={[a2,2a2+a2][2a2+a2,b2],2a2+b2∈T,2a2+b2∈/T
它的特点是
a
n
∉
T
,
b
n
∈
T
a_{n}\notin\textbf{T},b_{n}\in\text{T}
an∈/T,bn∈T，即
a
n
a_n
an不是上界，
b
n
b_n
bn是上界
由闭区间套定理
存在唯一的
ξ
\xi
ξ属于一切
[
a
n
,
b
n
]
[a_{n},b_{n}]
[an,bn]
现证
ξ
\xi
ξ是
S
\textbf{S}
S的上确界，分两步证明：
（2.1）
ξ
\xi
ξ是上界。
（2.2）
ξ
\xi
ξ是最小上界
证明（2.1），反证法，若
ξ
∉
T
\xi\notin\textbf{T}
ξ∈/T，则
∃
x
∈
S
\exists x\in\textbf{S}
∃x∈S使得
x
>
ξ
x>\xi
x>ξ，由于
lim
n
→
∞
b
n
=
ξ
\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=\xi
n→∞limbn=ξ，当
n
n
n充分大，有
x
>
b
n
x>b_{n}
x>bn，与
b
n
b_{n}
bn是上界矛盾（此时矛盾点在于推出
b
n
b_{n}
bn比不是上界的
x
x
x小），所以
ξ
\xi
ξ是上界。
证明（2.2)，反证法，若
∃
η
∈
T
,
η
<
ξ
\exists\eta\in\textbf{T},\eta<\xi
∃η∈T,η<ξ（
η
\eta
η比
ξ
\xi
ξ小，说明
η
\eta
η是最小上界，
ξ
\xi
ξ不是最小上界）
由
lim
n
→
∞
a
n
=
ξ
\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\xi
n→∞liman=ξ可知当
n
n
n充分大，
η
<
a
n
\eta<a_{n}
η<an，由于
a
n
∉
T
a_{n}\notin\textbf{T}
an∈/T（
a
n
a_{n}
an不是上界），所以
∃
y
∈
S
,
y
>
a
n
\exists y \in \textbf{S},y>a_{n}
∃y∈S,y>an（一个不是上界的元素比
a
n
a_{n}
an大）
η
<
a
n
<
y
∈
S
\eta < a_{n} <y \in \textbf{S}
η<an<y∈S，由于
η
\eta
η是上界，但是出现了上界比不是上界的元素小的情况，矛盾
所以
ξ
\xi
ξ是最小上界
证毕
所以上述5个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发可以推断其他定理，所以这5个定理的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
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