关路灯

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了 $n$ 盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为 $1m/s$，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：$m$）、功率（$W$），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

思路

推荐阅读【前置】- ButterflyDew的题解

记一共有 $n$ 个路灯，老张开始在第 $c$ 个路灯处，$d_i$ 表示第 $i$ 个路灯每次的消耗，$m_i$ 表示第 $i$ 个路灯所处的地方，$d{p}_{l,r,0},d{p}_{l,r,1}$ 表示关闭第 $l$ 个到第 $r$ 个路灯，最后停留在 $l,r$ 的耗电量。

显而易见，如果 $l\le r<c$ 或 $c<l\le r$ ，则无解。不妨令上诉情况的 $d{p}_{l,r,0}=d{p}_{l,r,1}=10^{18}$，避免对后续取值造成影响。

考虑 $d{p}_{l,r}$ 转移，以 $d{p}_{l,r,0}$ 为例。理论上来讲，$d{p}_{l,r,0}$ 可以由 $d{p}_{l+1,r,0},d{p}_{l+1,r,1},d{p}_{l,r-1,0},d{p}_{l,r-1,1}$ 四种情况推导而来，但观察到后两种情况实际上是先要从 $r-1$ 再到 $r$ 最后再到 $l$，则实际上可以改变为如下情况：
$d{p}_{l+1,r,0},d{p}_{l+1,r,1},d{p}_{l,r,1}$

以 $d{p}_{l+1,r,0}$ 为例，
$$d{p}_{l,r,0}=\min (d{p}_{l,r,0,d{p}_{[}l+1,r,0}+dis(l,l+1)\times (\sum _{i=1}^l{d}_i+\sum _{i=r+1}^n{d}_i))$$，其中 $dis(i,j)$ 表示从 $i$到 $j$ 距离：

int dis(int l,int r) { return abs(m[l] - m[r]);}

${\sum }_{i=1}^l{d}_i+{\sum }_{i=r+1}^n{d}_i$ 部分考虑前缀和 解决，这里记为 $waste(i,j)$

int waste(int l,int r) {return d[l] + d[n] - d[r - 1];}

最后别忘记 $d{p}_{l,r,0}=\min (d{p}_{l,r,0},d{p}_{l,r,1}+dis(l,r)\times waste(l-1,r+1)$，但其实没多少用。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,c;
int d[55],m[55];
int dp[55][55][2];
int dis(int l,int r) { return abs(m[l] - m[r]);}
int waste(int l,int r) {return d[l] + d[n] - d[r - 1];}
signed main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&c);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld %lld",&m[i],&d[i]),d[i] += d[i - 1];
	for(int i = 1;i < c;i++) {
		for(int j = 1;j < c;j++) dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e18;
	}
	for(int i = c + 1;i <= n;i++) {
		for(int j = c + 1;j <= n;j++) dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e18;
	}
	for(int i = 2;i <= n;i++) {
		for(int l = c;l >= 1 and l + i - 1 >= c;l--) {
			int r = l + i - 1;
			dp[l][r][0] = dp[l][r][1] = 1e18;
			dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l + 1][r][0] + dis(l,l + 1) * waste(l,r + 1));
			dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l + 1][r][1] + dis(l,r) * waste(l,r + 1));
			dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r - 1][0] + dis(l,r) * waste(l - 1,r));
			dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r - 1][1] + dis(r - 1,r) * waste(l - 1,r));
			dp[l][r][0] = min(dp[l][r][0],dp[l][r][1] + dis(l,r) * waste(l - 1,r + 1));
			dp[l][r][1] = min(dp[l][r][1],dp[l][r][0] + dis(l,r) * waste(l - 1,r + 1));
		}
	}
	printf("%lld\n",min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]));
    return 0;
}