论文：带有初速度的S形路径轨迹规划方法，史伟民

论文介绍了一种带有初速度的情况下进行轨迹规划的方法。

总得来说，是可以实现在运动过程中重新进行轨迹规划。

指数加减速：.....

直线型加减速：.....

S形加减速：S形加减速控制具有运动过程平稳、较小冲击和振荡、速度曲线光滑等优势。同时S形加减数控制生成的位移轨迹为加速度连续变化的位移曲线，并且曲线光滑，能有效的减少冲击、实现平滑启停，减少残余振动和冲击。适用于高速高精度运动控制。

接来就具体详细看看。

       定义：在匀速运动过程中任意一点为起点，初速度为Vs，剩余目标位移s，设定新的速度为Vm。

其中如果Vm>Vs，则先进行加速度到Vm，在减速度到0的规划。如果Vm<Vs,则进行先减速到Vm，在减速到0的规划。新的运动的轨迹分为三段轨迹。即为：从初速度运动到Vm为第一阶段，Vm进行一段时间的匀速运动为第二阶段，最后是从Vm运动到0为第三阶段。

一些外部束缚： 

同时已知条件为：初速度为Vs，距离和加速度为0，同时终点的速度和加速度为0，剩余目标位移为S。

一：先加速在减速的规划（Vm>Vs） 

 第一段的运动阶段规划（可以先加速到目标速度后匀速，或者是一直加速），运动的约束条件为：

注意：论文中的第二个条件的v（t1）应该是Vm，并非是0

那么第四个条件是怎么来的：

当考虑效率最优时，令ta1 = 0 

 此时tj1等于：sqrt（（Vm-Vs）/Jmax）

但是tj1可能不满足加速度的约束，由积分条件可以得到第一运动阶段的最大加速度

tj1已知了，可以根据第四个约束条件，求出关于ta1的公式。

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那么这个公式9怎么来的呢？

 速度是对其加速度积分而得到，加速度等于加加速乘加速度的时间t。最后求加加速阶段的位移，是对速度进行求积分，如上，范围是0-tj1。最终得到1/6Jma*tj1^3

这一部分指的是匀加速阶段，加速度不变，所以这段均加速阶段的开始速度是1/2*Jmax*tj1^2，那么所走的位移就是初速度乘以所走的时间。

在减加速（加速度减少，但速度增加）过程中， t是从tj1+ta1不断变大的，所以此时的a（t）是负的，并随着t的不断变大（最大2tf1+ta1），加速度为0，此时的速度为：v = v0-at，但是这里的a并不是一个恒定的常数，所以并不适用此公式，即使用积分的方式进行求出在t时刻下的关于加速度的速度，之后这段的速度知道了后，在进行积分操作，得到此段的距离。

当分别得到了加加速度+匀速+减加速的三段位移，就得到了公式9。

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二：减速的过程

步骤和第一类似，最终得到：

三：匀速运动

 以上对是先加速到达设定速度后，进行匀速，在进行减速的操作。

而下面的是先进行减速到达设定速度后，进行匀速，在进行减速的操作（速度减到0），其实方法和上面类似，就不详细介绍了。

最终：

例子：