参考资料：https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

一、二维空间与复数

1. 已知复数$z=a+bi$，我们规定其向量表示形式为$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$。我们可以将其看成是复数域的两个基底 { 1 , i } \{1,i\} {1,i}的各自系数

2. 对于复数$z_1=a+bi,z_2=c+di$，它们的乘积是 $z_1{z}_2=(ac-bd)+(bc+ad)i=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$

   对于这个结果，其右侧的$\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$是$z_2$的向量形式，而左边则是$z_1$的矩阵表示形式 我们可以做一些尝试，比如$z_1{z}_2=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ac-bd& -ad-bc\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right]$，所以复数相乘就是各自的矩阵形式相乘的结果

   同时可以验证复数相乘时的交换律、结合律、分配律、$i^2=-1$等

3. 复数的共轭$\overline{z}=a-bi$，复数的模长$\Vert z\Vert =\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}$

4. 复数的旋转可以从矩阵表示中窥见一二，对于复数$z=a+bi$，考虑其矩阵表示$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]=\sqrt{a^2+b^2}\left[\begin{array}{cc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}& -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right]$
   将复数$z$投射到复数坐标轴中，可以看到其矩阵表示可以表示为$\left[\begin{array}{cc}\Vert z\Vert & 0\\ 0& \Vert z\Vert \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$
   
   其中$\left[\begin{array}{cc}\Vert z\Vert & 0\\ 0& \Vert z\Vert \end{array}\right]$是经典的放缩矩阵，$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$是经典的旋转矩阵，所以复数相乘<=>对应矩阵形式相乘<=>旋转与缩放变换的复合
   同时可以验证，2D空间下的旋转是可以复合的，与次序无关。

二、三维空间下的旋转

定义：先假定旋转轴经过原点（如果不经过原点，则将旋转轴与待旋转物体 平移至旋转轴经过原点，完成旋转后再平移回去），这个旋转轴的单位向量是$\mathbf{u}=(x,y,z{)}^T$，待旋转物体我们简化为一个向量$\mathbf{v}$，旋转角度为（逆时针方向）$\theta$，注意接下来所有的分析与推导都是右手坐标系

向量分解
对待旋转向量进行分解$\mathbf{v}={\mathbf{v}}_{\Vert }+{\mathbf{v}}_{\perp }$，分别为“平行于旋转轴$\mathbf{u}$的分量”和“垂直于旋转轴$\mathbf{u}$的分量”

其中“平行于旋转轴$\mathbf{u}$的分量”是待旋转向量的投影，也即${\mathbf{v}}_{\Vert }=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{u}$；又由向量加减计算出垂直于旋转轴$\mathbf{u}$的分量”，也即${\mathbf{v}}_{\perp }=\mathbf{v}-{\mathbf{v}}_{\Vert }=\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{u}$

易知${\mathbf{v}}_{\Vert }$旋转多少度都不会发生变化，所以我们只需要考虑${\mathbf{v}}_{\perp }$的旋转结果

在右手坐标系下，用叉乘计算出垂直于${\mathbf{v}}_{\perp },\mathbf{u}$所在平面的另一向量$\mathbf{w}=\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }$，那么把${\mathbf{v}}_{\perp },\mathbf{w}$分别看成是二维平面的$X,Y$轴，那么旋转后的向量${\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }$的计算结果显而易见：${\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{v}}_{\perp }\cos \theta +(\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp })\sin \theta ={\mathbf{v}}_{\perp }\cos \theta +(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\sin \theta$
其中第二个等号来自叉乘的分配率$\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }=\mathbf{u}\times (\mathbf{v}-{\mathbf{v}}_{\Vert })=\mathbf{u}\times \mathbf{v}-\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\Vert }=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$

将两分量进行组合后，可得旋转后的向量${\mathbf{v}}^{\prime }=\cos \theta \mathbf{v}+(1-\cos \theta )(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{u}+\sin \theta (\mathbf{u}\times \mathbf{v})$

三、四元数

四元数的定义与复数类似，但四元数有三个虚部和一个实部，也即四元数$q=a+bi+cj+dk$，其中$a,b,c,d$均为实数，而$i,j,k$是虚基，满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
类似地，四元数也可以写成向量形式$q=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]=[a,\mathbf{v}]，其中\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right]$

由$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$，我们可以推出$ij=k,kj=-i,ik=-j$，全部结果如下所示（列为左乘，行为右乘）

四元数的模长、加法、数乘与复数基本类似，但乘法不一样，四元数的乘法满足分配率和结合律，但不满足交换律

具体来说，对于$q_1=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\\ c_1\\ d_1\end{array}\right]=[a_1,{\mathbf{v}}_1],q_2=\left[\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\\ c_2\\ d_2\end{array}\right]=[a_2,{\mathbf{v}}_2]$，其中${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ c_1\\ d_1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}{b}_2\\ c_2\\ d_2\end{array}\right]$，他们的乘积结果为

$q_1{q}_2=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& -b_1& -c_1& -d_1\\ b_1& a_1& -d_1& c_1\\ c_1& d_1& a_1& -b_1\\ d_1& -c_1& b_1& a_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\\ c_2\\ d_2\end{array}\right]=[a_1{a}_2-{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2,a_1{\mathbf{v}}_2+a_2{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2]$

注意上式左边的矩阵各系数是由 { 1 , i , j , k } \{1,i,j,k\} {1,i,j,k}乘积结果的$4\times 4$计算表格得出的。

与左乘类似，四元数的右乘也可以写成矩阵形式
$q_2{q}_1=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& -b_1& -c_1& -d_1\\ b_1& a_1& d_1& -c_1\\ c_1& -d_1& a_1& b_1\\ d_1& c_1& -b_1& a_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\\ c_2\\ d_2\end{array}\right]=[a_1{a}_2-{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2,a_1{\mathbf{v}}_2+a_2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2]$

---

引入概念：纯四元数，意为实部为0的四元数，也即$v=[0,\mathbf{v}]$，我们用$v$来表示一个纯四元数$[0,\mathbf{v}]$
引入概念：四元数的逆，对于一个四元数$q$来说，其逆$q^{-1}$满足$q{q}^{-1}=q^{-1}q=1$
引入概念：四元数的共轭，对于一个四元数$q$来说，其共轭$q^{\ast }=[a,-\mathbf{v}]$，所以根据上面推导的四元数的乘法可得$q^{\ast }q=q{q}^{\ast }=[a^2+\mathbf{v}\cdot \mathbf{v},0]=\Vert q{\Vert }^2$

所以建立起逆和共轭的关系：$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{\Vert q{\Vert }^2}$，且当$q$为单位四元数（$\Vert q{\Vert }^2=1$）时，其共轭与逆相等。

现在考虑用四元数来建立表示向量$\mathbf{v}$的垂直部分${\mathbf{v}}_{\perp }$绕旋转轴$\mathbf{u}$的旋转过程：
将三维向量划归为纯四元数$v_{\perp }=[0,{\mathbf{v}}_{\perp }],v_{\perp }^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }],v=[0,\mathbf{v}],u=[0,\mathbf{u}]$

又根据四元数乘法可得$u{v}_{\perp }=[-\mathbf{u}\cdot {\mathbf{v}}_{\perp },\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }]=[0,\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }]$

最后将第二节中的垂直分量旋转后的计算结果${\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{v}}_{\perp }\cos \theta +(\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp })\sin \theta$转化为四元数的形式
$$v_{\perp }^{\prime }=v_{\perp }\cos \theta +u{v}_{\perp }\sin \theta$$

定义四元数$q=[\cos \theta ,\sin \theta \mathbf{u}]$，则$v_{\perp }^{\prime }=q{v}_{\perp }$，且有
$$v^{\prime }=v_{\Vert }+q{v}_{\perp }$$

如何把形式更进一步？
考虑$p=[\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\mathbf{u}]$，则有$p^2=[{\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2},2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\mathbf{u}]=[\cos \theta ,\sin \theta \mathbf{u}]=q$，
且$\Vert p\Vert =1,p^{-1}=\frac{p^{\ast }}{\Vert p{\Vert }^2}=p^{\ast }=[\cos \frac{\theta }{2},-\sin \frac{\theta }{2}\mathbf{u}]$

因此有
$$v^{\prime }=v_{\Vert }+q{v}_{\perp }=p{p}^{\ast }{v}_{\Vert }+pp{v}_{\perp }$$

这个公式的几何解释：平行于旋转轴的分量不变，将垂直分量连续2次旋转$\frac{\theta }{2}$的角度

对于$p^{\ast }{v}_{\Vert }$，由于${\mathbf{v}}_{\Vert }\times \mathbf{u}=0$，所以其满足交换律$p^{\ast }{v}_{\Vert }=v_{\Vert }{p}^{\ast }$
对于$p{v}_{\perp }$，由于${\mathbf{v}}_{\perp }\times \mathbf{u}=-\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }$和${\mathbf{v}}_{\perp }\cdot \mathbf{u}=0$，所以有$p{v}_{\perp }=v_{\perp }{p}^{\ast }$
经过代换后，由分配率可得$v^{\prime }=p(v_{\Vert }+v_{\perp })p^{\ast }=pv{p}^{\ast }$

总结一下，对于三维空间下的旋转，假定旋转轴经过原点（如果不经过，则对旋转轴与待旋转点一起平移），其所在直线的单位向量为$\mathbf{u}$，待旋转点为$\mathbf{v}$，旋转角度为（逆时针）$\theta$，旋转后的点为${\mathbf{v}}^{\prime }$，那么定义四元数$v=[0,\mathbf{v}],v^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}^{\prime }],u=[0,\mathbf{u}],p=[\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\mathbf{u}]$，则旋转后的点位置为
$$v^{\prime }=pv{p}^{\ast }$$

进一步考虑矩阵形式，令$a=\cos \frac{\theta }{2},b=\sin \frac{\theta }{2}{u}_x,c=\sin \frac{\theta }{2}{u}_y,d=\sin \frac{\theta }{2}{u}_z$
则$a^2+b^2+c^2+d^2=1$，且由左乘和右乘矩阵的
$$v^{\prime }=pv{p}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& d& a& -b\\ d& -c& b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& d& -c\\ c& -d& a& b\\ d& c& -b& a_1\end{array}\right]v=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1-2c^2-2d^2& 2bc-2ad& 2ac+2bd\\ 0& 2bc+2ad& 1-2b^2-2d^2& 2cd-2ab\\ 0& 2bd-2ac& 2ab+2cd& 1-2b^2-2c^2\end{array}\right]v$$