【自由能系列（初级）】自由能原理——神经科学的“能量守恒”方程

news2024/12/29 2:07:27

【通俗理解】自由能原理——神经科学的“能量守恒”方程

关键词提炼

#自由能原理 #KL散度 #生成模型 #识别密度 #观测数据 #神经科学

第一节：自由能原理的类比与核心概念

1.1 自由能原理的类比

自由能原理在神经科学中的应用，可以类比为一个“大脑的能量守恒”方程。就像物理学中的能量守恒定律一样，大脑在处理信息时，也遵循着一种“自由能守恒”的原则。
这个原理通过衡量大脑对外部世界的识别（识别密度）与内部模型的生成（生成模型）之间的差异，并加上观测数据的影响，来计算大脑在处理信息时的“自由能”。

在这里插入图片描述

1.2 相似公式比对

能量守恒定律： $\Delta E = Q - W$ ，描述了能量在系统中的守恒关系。
自由能原理： $D_{KL}(q(x) \parallel p(x \mid y)) + \log p(y)$ ，则描述了神经科学中信息处理的“自由能守恒”。

第二节：自由能原理的核心概念与应用

2.1 核心概念

核心概念	定义	比喻或解释
自由能F	代表大脑在处理信息时的“能量”状态。	类似于物理中的自由能，是系统状态的一种度量。
KL散度	衡量识别密度q(x)与生成模型p(x∣y)之间的差异。	类似于距离，表示两个分布之间的差异程度。
识别密度q(x)	大脑对外部世界的识别或感知。	类似于我们对外部世界的“观察”或“理解”。
生成模型p(x∣y)	大脑内部的模型，用于生成对外部世界的预测或解释。	类似于我们对外部世界的“假设”或“模型”。
观测数据y	外部世界提供给大脑的信息。	类似于我们眼睛看到的、耳朵听到的等外部信息。

2.2 优势与劣势

量化分析：将大脑的信息处理过程量化，使得研究更加客观和准确。
模型解释：提供了大脑如何处理外部信息的一种理论框架。

2.3 与神经科学的类比

自由能原理在神经科学中扮演着“能量守恒”的角色，它揭示了大脑在处理信息时遵循的一种基本原则，就像物理学中的能量守恒定律一样。

第三节：公式探索与推演运算

3.1 自由能原理的基本形式

自由能原理的基本形式为：

$D_{KL}(q(x) \parallel p(x \mid y)) + \log p(y)$

其中，F代表自由能， $D_{KL}$ 是KL散度，q(x)是识别密度，p(x∣y)是生成模型，y是观测数据。

3.2 具体实例与推演

假设识别密度q(x)是一个高斯分布，生成模型p(x∣y)也是一个高斯分布，且两者具有相同的均值但不同的方差，那么KL散度就可以通过计算两个高斯分布之间的差异来得到。同时，观测数据y的对数概率 $\log p(y)$ 可以通过观测数据的分布来计算。将这两部分相加，就可以得到自由能F的值。

第四节：相似公式比对

信息增益 与 自由能原理中的KL散度：
- 共同点：都涉及到了信息的度量。
- 不同点：信息增益通常用于决策树等算法中，衡量特征对分类的贡献；而KL散度则用于衡量两个分布之间的差异，是自由能原理的一部分。
贝叶斯公式 与 自由能原理：
- 相似点：都涉及到了先验概率和后验概率。
- 差异：贝叶斯公式是概率论中的基本公式，用于计算后验概率；而自由能原理则是神经科学中的一个原理，用于描述大脑的信息处理过程。

第五节：核心代码与可视化

这段代码使用Python的NumPy和Matplotlib库来计算和可视化自由能原理。通过模拟识别密度和生成模型，计算KL散度和观测数据的对数概率，从而得到自由能的值，并进行可视化展示。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# Define the recognition density q(x) and the generative model p(x|y)
def q(x):
    return np.exp(-(x - 0)**2 / (2 * 1**2)) / (np.sqrt(2 * np.pi) * 1)

def p(x, y):
    return np.exp(-(x - y)**2 / (2 * 0.5**2)) / (np.sqrt(2 * np.pi) * 0.5)

# Define the KL divergence
def KL_divergence(q_dist, p_dist):
    return np.sum(q_dist * np.log(q_dist / p_dist))

# Define the log probability of the observation data
def log_probability(y):
    return -np.log(np.sqrt(2 * np.pi)) - 0.5 * y**2

# Calculate the free energy
def free_energy(y):
    x_values = np.linspace(-5, 5, 1000)
    q_dist = q(x_values)
    p_dist = p(x_values, y)
    kl_div = KL_divergence(q_dist, p_dist)
    log_prob = log_probability(y)
    return kl_div + log_prob

# Visualize the free energy for different observation data
y_values = np.linspace(-3, 3, 10)
free_energies = [free_energy(y) for y in y_values]

sns.set_theme(style="whitegrid")
plt.plot(y_values, free_energies, label='Free Energy F(y)')
plt.xlabel('Observation Data y')
plt.ylabel('Free Energy F')
plt.title('Free Energy for Different Observation Data')
plt.legend()
plt.show()

# Printing more detailed output information
print("Free energy plot has been generated and displayed. \nThe plot illustrates the free energy F(y) for different values of observation data y, \ncalculated using the Free Energy Principle.")