深度强化学习算法（五）（附带MATLAB程序）

深度强化学习（Deep Reinforcement Learning, DRL）结合了深度学习和强化学习的优点，能够处理具有高维状态和动作空间的复杂任务。它的核心思想是利用深度神经网络来逼近强化学习中的策略函数和价值函数，从而提高学习能力和决策效率。

一、关键算法分类

1.1 深度 Q 网络（Deep Q-Network, DQN）

概念：将 Q 学习（一个值函数方法）与深度神经网络结合，用于近似 Q 值函数。
特点：使用经验回放和固定 Q 目标网络来稳定训练过程。
应用：成功应用于 Atari 游戏等环境。

1.2 双重 Q 学习（Double Q-Learning）

概念：解决 DQN 中 Q 值过估计的问题，通过引入两个 Q 网络来减少过估计。
特点：使用两个独立的 Q 网络交替更新，以减少 Q 值的过高估计。

1.3 优先经验回放（Prioritized Experience Replay）

概念：对经验回放进行优先级排序，以更频繁地训练那些“重要”的样本。
特点：提高了训练的效率和稳定性。

1.4 深度确定性策略梯度（Deep Deterministic Policy Gradient, DDPG）

概念：适用于连续动作空间的策略梯度算法。
特点：使用策略网络和价值网络来逼近策略和价值函数，并利用经验回放和目标网络来稳定训练。

1.5策略梯度方法（Policy Gradient Methods）

概念：直接优化策略函数，通过梯度上升来最大化预期累积回报。
特点：适合处理大规模或连续动作空间。

1.6近端策略优化（Proximal Policy Optimization, PPO）

概念：通过引入一个“剪切”操作来限制每次策略更新的幅度，确保训练稳定。
特点：简单且有效，广泛应用于各种任务。

1.7演员-评论家方法（Actor-Critic Methods）

概念：结合了策略优化（演员）和价值函数（评论家）的方法。
特点：演员负责更新策略，而评论家负责估计价值函数，用于指导演员更新策略。

二、策略梯度方法（Policy Gradient Methods）公式推导

策略梯度方法（Policy Gradient Methods）的核心在于优化策略函数，以最大化累积奖励。下面是策略梯度方法公式的详细推导过程。

2.1目标函数定义

我们首先定义一个目标函数 $J\left ( \theta \right )$ ，它表示在当前策略下的期望累计奖励。假设我们的目标是最大化从状态分布 $p\left ( s \right )$ 中采样的累计奖励。目标函数可以表示为： $J\left ( \theta \right )=IE _{\pi \theta}\left [ R \right ]$ 其中R 是累积奖励， $\pi _{\theta }\left ( a|s \right )$ 是给定参数 $\theta$ 的策略函数

2.2期望累计奖励

为了更详细地推导，我们可以使用以下定义的累积奖励：

$R_{t}=\sum _{k=t}^{T}\textrm{}\gamma ^{k-t}r_{k}$

其中 $r_{k}$ 是在时间步k获得的奖励， $\gamma$ 是折扣因子。

期望累计奖励可以表示为：

$J\left ( \theta \right )=IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{} \gamma ^{t}r^{t}\right ]$

2.3策略梯度定理

根据策略梯度定理，我们需要计算目标函数 $J\left ( \theta \right )$ 关于 $\theta$ 的梯度。首先，对目标函数 $J\left ( \theta \right )$ 取梯度：

$\bigtriangledown_{\theta } J\left ( \theta \right )=\bigtriangledown _{\theta }IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{} \gamma ^{t}r^{t}\right ]$

2.4梯度的计算

利用期望的性质，我们可以将梯度移到期望外部：

$\bigtriangledown_{\theta } J\left ( \theta \right )=IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{} \gamma ^{t}r^{t}\right ]$

梯度操作可以分开到每一项：

$\bigtriangledown_{\theta } J\left ( \theta \right )=IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{}\bigtriangledown _{\theta } \gamma ^{t}r^{t}\right ]$

我们利用策略导数定理，将奖励 rtr_trt 写作策略的函数:

$\bigtriangledown _{\theta }r_{t}=\bigtriangledown _{\theta }\left ( log\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )\cdot \pi _{\theta }\left ( a_{t}|s_{t} \right )Q^{\pi }\left ( a_{t}|s_{t} \right )\right )$

可以通过以下简化：

$\bigtriangledown _{\theta }( log\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )=\frac{\bigtriangledown _{\theta }\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )}{\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )}$

于是：

$\bigtriangledown _{\theta } \pi _{\theta }\left ( a_{t}|s_{t} \right )Q^{\pi }\left ( a_{t}|s_{t} \right )=\bigtriangledown _{\theta } \pi _{\theta }\left ( a_{t}|s_{t} \right )Q^{\pi }\left ( a_{t}|s_{t} \right )+\pi _{\theta }\left ( a_{t}|s_{t} \right )\bigtriangledown _{\theta } Q^{\pi }\left ( a_{t}|s_{t} \right )$

最终：

$\bigtriangledown_{\theta } J\left ( \theta \right )=IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{}\bigtriangledown _{\theta } \gamma ^{t}log\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )R_{t}\right ]$

2.5使用基线减少方差

为了减少梯度估计的方差，我们可以引入基线 $b\left ({s_{t}} \right )$ 。引入基线的目标是使梯度估计更加稳定，而不改变期望值。引入基线后的梯度计算公式是：

$\bigtriangledown_{\theta } J\left ( \theta \right )=IE_{\pi \theta }\left [ \sum _{t=0}^{T}\textrm{}\bigtriangledown _{\theta } \gamma ^{t}log\pi_{\theta } \left ( a_{t}|s_{t} \right )\left (R_{t}-b\left ( s_{t} \right ) \right )\right ]$

基线 $b\left ( s_{t} \right )$ 可以是状态值函数 $V^{\pi }b\left ( s_{t} \right )$ 或者其他合适的函数。

三、MATLAB仿真程序

下面是一个简单的 MATLAB 仿真程序示例，演示如何使用策略梯度方法（Policy Gradient Methods）来训练一个简单的强化学习智能体。这个例子中，我们将使用一个简单的迷宫环境和 REINFORCE 算法（一个基本的策略梯度方法）来优化策略。

3.1定义环境

首先，我们定义迷宫环境及其属性：

function [next_state, reward, done] = simple_maze_env(state, action)
    % 环境的网格尺寸
    grid_size = [5, 5];
    
    % 目标位置
    goal = [5, 5];
    
    % 移动
    move = [0, 0];
    if action == 1
        move = [-1, 0]; % 上
    elseif action == 2
        move = [1, 0]; % 下
    elseif action == 3
        move = [0, -1]; % 左
    elseif action == 4
        move = [0, 1]; % 右
    end
    
    next_state = state + move;
    % 确保状态在环境范围内
    next_state = max(min(next_state, grid_size), [1, 1]);
    
    % 奖励和完成标志
    if isequal(next_state, goal)
        reward = 1;
        done = true;
    else
        reward = -0.01; % 小的负奖励以鼓励较短路径
        done = false;
    end
end

3.2策略函数

接下来，我们定义一个简单的策略函数，使用神经网络来表示策略。这里使用的是一个简单的多层感知机（MLP）：

function [pi] = policy_network(state, theta)
    % state: 当前状态
    % theta: 策略网络的参数
    % pi: 当前状态下的策略分布（动作的概率）

    % 状态维度
    num_states = 2; % 例如 [x, y]
    num_actions = 4; % 上、下、左、右
    
    % 简单的线性策略网络
    W = reshape(theta, [num_states, num_actions]);
    logits = W' * state';
    pi = softmax(logits);
end

function y = softmax(x)
    e_x = exp(x - max(x));
    y = e_x / sum(e_x);
end

3.3REINFORCE 算法

实现 REINFORCE 算法来训练策略网络：

function [theta] = reinforce(env, num_episodes, alpha)
    % 参数设置
    num_states = 2;
    num_actions = 4;
    
    % 初始化策略参数
    theta = rand(num_states * num_actions, 1);
    
    % 主循环
    for episode = 1:num_episodes
        state = [1, 1]; % 起始状态
        done = false;
        episode_rewards = [];
        episode_states = [];
        episode_actions = [];
        
        while ~done
            pi = policy_network(state, theta);
            action = randsample(1:num_actions, 1, true, pi);
            
            [next_state, reward, done] = simple_maze_env(state, action);
            
            episode_states = [episode_states; state];
            episode_actions = [episode_actions; action];
            episode_rewards = [episode_rewards; reward];
            
            state = next_state;
        end
        
        % 计算回报
        T = length(episode_rewards);
        returns = zeros(T, 1);
        G = 0;
        for t = T:-1:1
            G = episode_rewards(t) + G;
            returns(t) = G;
        end
        
        % 更新策略
        for t = 1:T
            state = episode_states(t, :);
            action = episode_actions(t);
            pi = policy_network(state, theta);
            grad = zeros(num_states * num_actions, 1);
            grad((action - 1) * num_states + 1:num_states * action) = state';
            grad = grad - pi' .* grad;
            theta = theta + alpha * grad * (returns(t) - pi(action));
        end
    end
end

3.4运行仿真

% 参数设置
num_episodes = 1000;
alpha = 0.01;

% 训练策略
theta = reinforce(@simple_maze_env, num_episodes, alpha);

% 输出结果
disp('训练完成!');
disp('最终策略参数:');
disp(theta);