牛客_年会抽奖（错排问题）

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解析代码

        该题为经典的错排问题

        用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作 D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

1. b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。
2. b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外 的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。

        总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。 a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－ 2)]

所以D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] 。特殊的，D(1) = 0, D(2) = 1.

        错排的递推公式是：D(n) = (n - 1) [D(n - 2) + D(n - 1)]，也就是n - 1倍的前两项和。公式推导可以参考百度百科。 通过这个递推公式可以得到在总数为n的时候，错排的可能性一共有多少种。

        那么要求错排的概率，还需要另一个数值，就是当总数为n的时候，所有的排列组合一共有多少种，也就是n的阶乘。所以结果很简单，就是用公式求出第n项的错排种类，和n的阶乘，然后两者一除， 就是概率了。

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    long long d[21] = { 0, 0, 1 }; // 错排数量，预留第一项为0
    long long f[21] = { 1, 1, 2 }; // 阶乘
    for (int i = 3; i <= 20; i++)
    {
        d[i] = (i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]); //错排的递推公式
        f[i] = i * f[i - 1]; // 阶乘的递推公式
    }
    int n = 0;
    while (cin >> n)
    {
        printf("%.2f%%\n", 100.0 * d[n] / f[n]);
        //用100.0来把结果处理成double，保留两位小数
    }
    return 0;
}