目录
- 一、LeetCode 39. 组合总和
- 思路：
- C++代码
- 二、LeetCode 40.组合总和II
- 思路
- C++代码
- 三、LeetCode 131.分割回文串
- 思路
- C++代码
- 总结
一、LeetCode 39. 组合总和
题目链接：LeetCode 39. 组合总和
文章讲解：代码随想录
视频讲解：带你学透回溯算法-组合总和（对应「leetcode」力扣题目：39.组合总和）| 回溯法精讲！
思路：
题目要求从给出的数组里选取几个数，使得总和等于给出的target，并且数组中的数可以无限制重复选取，那么相对于前面做过的216. 组合总和 III来说，只需要在每层循环的时候考虑到上次选过的数字可以重复选取即可，即让循环条件中的初始值int i = pre:
for(int i = pre; i < candidates.size(); i++) //pre为上一层选取的数字的下标
其余的代码基本不变，要找题目要求编程即可。
C++代码
class Solution {
private:
vector<vector<int>> comb;
vector<int> set;
void backtrack(vector<int> candidates, int target, int sum, int pre){
//pre记录前一个数字的下标
if(sum > target) return; //剪枝操作
if(sum == target){
if(comb.size() < 150){
comb.push_back(set);
}
return;
}
for(int i = pre; i < candidates.size(); i++){
//同一个数字可以重复选取，所以可以从下标pre开始取
set.push_back(candidates[i]);
sum += candidates[i];
backtrack(candidates, target, sum, i);
sum -= candidates[i];
set.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
backtrack(candidates, target, 0, 0);
return comb;
}
};
二、LeetCode 40.组合总和II
题目链接：LeetCode 40.组合总和II
文章讲解：代码随想录
视频讲解：回溯算法中的去重，树层去重树枝去重，你弄清楚了没？| LeetCode:40.组合总和II
思路
本题的重点在于：每个数字只能选一次，且给出的数组中会出现重复的数字，因此对于解集中的数组需要进行去重操作。
笔者在本题中采用的是在子集生成过程中，对子集树同一层的数进行的去重操作。
如图，在子集树的遍历过程中，当数字选取在同一条树支上时，即选取数字都会出现在子集中时，重复数字是可以选取的；而当选取数字在同一树层上时，即在同一个位置上选取数字时，不能重复选取。
体现在代码中则是当前数字与前一个数字相同，且前一个数字没有被选取时，那么当前的数字就不能选取（因为如果选取，那么后续生成的所有子集都会和选取前一个数生成的子集相同，出现重复），所以我们在递归中加上一个判断条件即可去重。
C++代码
class Solution {
private:
vector<vector<int>> comb;
vector<int> set;
vector<bool> used;
int sum;
void backtrack(vector<int> candidates, int target, int pre){
if(sum == target){
comb.push_back(set);
return;
}
for(int i = pre + 1; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++){
if(i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] && !used[i-1]) continue;
//遇到同一层相同数字，则跳过此次循环
set.push_back(candidates[i]);
sum += candidates[i];
used[i] = true;
backtrack(candidates, target, i);
used[i] = false;
sum -= candidates[i];
set.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
sum = 0;
sort(candidates.begin(), candidates.end());
for(auto x: candidates){
used.push_back(false);
}
backtrack(candidates, target, -1);
return comb;
}
};
三、LeetCode 131.分割回文串
题目链接：LeetCode 131.分割回文串
文章讲解：代码随想录
视频讲解：带你学透回溯算法-分割回文串（对应力扣题目：131.分割回文串）| 回溯法精讲！
思路
题目要求将给出的字符串划分为几个回文串的组合，笔者采用回溯算法。对于回文串的判断和处理，笔者采用延伸生成的方法，如图：
对于一个已经确定的回文串，如果他的左右两边的字符相等的话，那么加上左右两边的字符会变成一个更长的字符串（这一点适用于奇数长度与偶数长度）；因此笔者的算法思想为：在当前未确定的字符串部分找到一个最短的回文串，在这个最短回文串的基础上向两边延伸生成新的回文串；于是对于回溯算法的设计即是在每一层对于最短的回文串进行操作。
如图，对于每层回溯的递归逻辑，将当前遍历到的字符作为回文串生成的中心位置字符，在此基础上进行延伸；具体延伸方法为：在原回文串基础上，判断原回文串两侧的字符是否相等，如果相等就可以加入到原串两侧，完成延伸，进入下一层for循环继续延伸；否则跳出for循环。
回溯递归函数的设计依旧是分为三部曲来编写：
递归函数的传参以及返回值，笔者设计回溯算法无返回值，设置全局变量储存回文串的分割方案；传参方面，由于笔者在递归函数中处理的是回文串最中间的字符，因此需要一个下标记录当前的字符位置，同时需要另一个下标记录回文串可以到达的最左端的位置（用来控制for循环），因此递归的传参和返回为：
void backtrack(int cur, int pre)
终止条件设计为，递归函数传入的当前字符的位置大于原串的长度，将当前方案存入全局变量中，递归函数返回。
if (cur >= size) {
palindrome.push_back(set);
return;
}
递归函数逻辑如下：
由于该算法中，奇数长度与偶数长度的回文串生成方式有区别，所以需要分开判断延伸的条件：
//延伸条件判断
if (palindrome[0][cur - i] == palindrome[0][cur + i]) //奇数长度回文串
if (palindrome[0][cur - i] == palindrome[0][cur + i + 1]) //偶数长度回文串
由于奇数长度可以直接将当前的字符作为第一个回文串，偶数长度需要进行一次判断才能确定第一个回文串，因此在循环逻辑和循环条件上也有区别，因此奇数长度和偶数长度笔者分成两个for循环来写。
for (int i = 0; i < size - cur && i <= cur - pre; i++) //奇数长度回文串
for (int i = 0; i < size - cur - 1 && i <= cur - pre; i++) //偶数长度回文串
for循环中，当满足两端字符相等的延伸条件时，扩展回文串，并且删除前面一个字符（因为前面一个字符被包含进当前的回文串了），进入下一层递归。
由于本题和笔者算法的特殊性，在递归返回时不直接进行回溯，而是当回文串两端字符不相等时，即不能再延伸出更长的回文串时，将回文串中包含过的左侧的元素依次返还，便于返回上一层递归继续操作：
int b = odd.size() / 2; //遍历完毕，归还前面的元素
for (int j = 0; j < b; j++) {
string tmp(1, odd[j]);
set.push_back(tmp);
}
C++代码
class Solution {
private:
vector<vector<string>> palindrome;
vector<string> set;
int size;
void backtrack(int cur, int pre) {
if (cur >= size) {
palindrome.push_back(set);
return;
}
string odd = "";
string even = "";
for (int i = 0; i < size - cur && i <= cur - pre; i++) {//奇数长度回文串
if (odd.empty()) { //奇数个存在一个的情况，除此以外的情况与偶数个类似
odd = palindrome[0][cur];
set.push_back(odd);
backtrack(cur + 1, pre);
set.pop_back();
}
else {
if (palindrome[0][cur - i] == palindrome[0][cur + i]) {
odd = palindrome[0][cur - i] + odd + palindrome[0][cur - i];
set.pop_back();
set.push_back(odd);
backtrack(cur + i + 1, cur + i + 1);
set.pop_back();
}
else {
break;
}
}
}
int b = odd.size() / 2; //遍历完毕，归还前面的元素
for (int j = 0; j < b; j++) {
string tmp(1, odd[j]);
set.push_back(tmp);
}
for (int i = 0; i < size - cur - 1 && i <= cur - pre; i++) {
if (palindrome[0][cur - i] == palindrome[0][cur + i + 1]) { //偶数长度回文串
even = palindrome[0][cur - i] + even + palindrome[0][cur - i];
if (i > 0) set.pop_back();
set.push_back(even);
backtrack(cur + i + 2, cur + i + 2);
set.pop_back();
}
else {
break;
}
}
b = (even.size() / 2) - 1; //遍历完毕，归还元素
for (int j = 0; j < b; j++) {
string tmp(1, even[j]);
set.push_back(tmp);
}
}
public:
vector<vector<string>> partition(string s) {
size = s.size();
for (auto x : s) { //构建一个初始集合，便于生成
string pal;
pal.push_back(x);
set.push_back(pal);
}
palindrome.push_back(set);
set.clear();
backtrack(0, 0);
palindrome.erase(palindrome.begin());
//构建的初始集合和生成的第一个集合重复，因此需要删除一个（可优化）
return palindrome;
}
};
总结
回溯法的进阶应用。在编写回溯算法时仍要注意递归的逻辑结构、终止条件和剪枝条件、循环的边界条件，以及递归返回时数值的恢复（回溯），都是回溯算法的重点问题。
文章图片来源：代码随想录 (https://programmercarl.com/)
