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问题描述

1. 对besier曲线在u处打断，生成两条besier曲线
2. 对besier曲线升阶处理

bezier高阶性质

求导推导

$\mathbf{P}(t)=\sum _{i=0}^n{B}_i^n(t){\mathbf{b}}_i$

$B_i^n(t)=\left(\begin{array}{l}n\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n-i}$

矩阵表示

$P(t)=\left[\begin{array}{cccc}{B}_0^n& B_1^n& \cdots & B_n^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_0\\ {\mathbf{b}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$

只要对每个系数求导即可

$B_i^n(t{)}^{\prime }=i\left(\begin{array}{l}n\\ i\end{array}\right)t^{i-1}(1-t{)}^{n-i}-(n-i)\left(\begin{array}{l}n\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n-i-1}\cdots (1)$

对组合数展开可以发现

$B_i^n(t{)}^{\prime }=n\left(\begin{array}{c}n-1\\ i-1\end{array}\right)t^{i-1}(1-t{)}^{n-i}-n\left(\begin{array}{c}n-1\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n-i-1}=n{B}_{i-1}^{n-1}(t)-n{B}_i^{n-1}(t)$

从(1)式可知，当i=0时，$B_{i-1}^{n-1}(t)=0$

$设q_i=B_i^{n-1}(t)$

${\mathbf{P}}^{\prime }(t)=n[q_0\cdots q_{n-1}]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]+n[q_0\cdots q_{n-1}]\left[\begin{array}{c}-{\mathbf{b}}_0\\ ⋮\\ -{\mathbf{b}}_{n-1}\end{array}\right]$

$=\sum _{i=0}^{n-1}{B}_i^{n-1}(t)({\mathbf{b}}_{i+1}-{\mathbf{b}}_i)$

上式一共是n项，所以n阶bezier曲线的导数可以由n-1阶bezier曲线得到

控制点如下

$D_i=n(b_{i+1}-b_i),i\in [0,n-1]$

导数的计算也可以由De Casteljau algorithm 来算

端点导数

将t=0, t=1代入公式，发现首末端的导数刚好是初始两点和末端两点连线的n倍。

高阶导数

参数曲线的d阶导为在d-1阶导数基础上再求一次导。

${\mathbf{P}}^{\prime \prime }(t)=\sum _{i=0}^{n-2}{B}_i^{n-2}(t)((n-1)({\mathbf{D}}_{i+1}-{\mathbf{D}}_i))$

$=n(n-1)\sum _{i=0}^{n-2}{B}_i^{n-2}(t)({\mathbf{b}}_{i+2}-2{\mathbf{b}}_{i+1}+{\mathbf{b}}_i)$

从u处打断

根据 De Casteljau algorithm 的过程可以观察到。

每次迭代后，数组中的第1个点和最后一个点，分别是左右子段的控制点。

/*!
 *\brief Bezier曲线的打断
*\ param const std::vector<Point> & A 控制点序列
*\ param double u 打断处的参数 (0,1)
*\ param std::vector<Point> & cv_left 打断后前半部分的控制点
*\ param std::vector<Point> & cv_right 打断后后半部分的控制点
*\ Returns:   std::pair<List2f, List2f>
*/
std::pair<List2f, List2f> subDevide(const std::vector<Eigen::Vector2f> &A, float u)
{
    List2f cv_left = A;
    List2f cv_right = A;
    if(A.size()<2)return {cv_left, cv_right};

    int p = A.size()-1;
    //p次迭代
    for (int i = 0;i<p;++i)
    {
        for (int j = 0;j<p - i;++j)
            cv_right[j] = (1.0 - u)*cv_right[j] + u*cv_right[j + 1];
        //左侧控制点为每次迭代的首点
        cv_left[i + 1] = cv_right[0];
    }

    return {cv_left, cv_right};
}

升阶

设原来曲线控制点为b0, b1, … bn n+1个控制点，

升阶后的点为c0, c1, … cn, cn+1 n+2个控制点

c0=b0, cn+1=bn

中间控制点

$c_i=\frac{i}{n+1}{b}_{i-1}+(1+\frac{i}{n+1})b_i,i\in [1,n]$

List2f degreeElevation(const std::vector<Eigen::Vector2f> &A)
{
    int n=A.size(); // 为公式中的n+1
    List2f res (n+1);
    res.front() = A[0];
    res.back() = A.back();

    for(int i=1;i<n;++i) {
        float ratio = 1.0*i/n;
        res[i] = ratio *A[i-1] + (1-ratio)*A[i];
    }

    return res;
}

实现

代码：
https://gitcode.com/chenbb1989/geometric_model/tree/master/gohw4-3

演示视频

打断

升阶

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