文章目录
- 1. 插入即是合并
- 2. 删除亦是合并
1. 插入即是合并
以上,我们已经实现了,对于左式堆来说最为在意的合并算法。非常有意思的是,尽管合并操作并非优先级队列所要求的基本操作接口。但基于合并操作,我们却同样可以实现左式堆高效的插入与删除操作。
也就说,从本质上,左式堆只需要"合并"这一个操作即足以。正所谓"一招鲜,吃遍天"。
首先来看,如何基于合并操作实现左式堆的节点插入算法:
这就是一个典型的场景。我们需要将一个新的节点 e 插入到已有的一个左式堆中。这样一个场景与左式堆的合并算法有什么联系呢?没错,只要将这个新的节点视作仅含一个元素的左式堆,那么这次插入操作不就是一个不折不扣的合并操作吗?
如果你能参透这一点,也就自然可以写出这样一个算法。
- 可以将待插入的元素封装为一个二叉树节点。当然它也自然就是一个左式堆的节点,或者更进一步地,它也就是以它自己为唯一成员的那个左式堆的根节点。
- 因此按照刚才所参悟到的原理,接下来我们只需调用左式堆标准的合并接口,将这个新生成的节点与此前的左式堆合并起来。
除此之外,我们并没有更多的实质操作,仅此而已。
2. 删除亦是合并
实际上,基于左式堆的合并操作,还可以顺利地实现它的删除接口。
一个典型的删除操作的情景无非如此:在左式堆中,最大元依然在根节点处唾手可得,因此每次删除操作,我们都首先需要将这个根节点在物理上删除掉。而接下来任务也无非是将被分离出来的左子堆与右子堆合并起来,继续构成一个总体的左式堆。实质的操作,又是一次合并。
同样地,如果能参悟到这一点,也应该很自然地可以写出以下的算法。
- 前三句都是铺垫,对相关的数据做备份而已。
- 根节点的物理摘除由这一句来完成(第四句)。
- 而此后,正如我们刚才所参悟到的原理,只需将此时被隔离开的左子堆与右子堆重新的合并起来。
同样的,此后也没有更多的实质操作,仅此而已。
可以看到,按照这一方式,无论是左式堆的删除,还是刚才的插入操作,实质的计算无非都集中在合并接口上。
我们此前介绍过,合并可以高效率地在 log(n) 的时间内完成。既然这样,如此实现的删除以及刚才的插入操作也能够达到这样的效率。 同样的计算效率加上更为简明的实现方法,我还有什么理由不采用这种方式呢?
实际上,关于分合之道,左式堆的发明者 Crane 堪称个中高手。除了左式堆,他还针对其他的很多数据结构给出了高效的合并算法。比如对于我们已经熟悉的 AVL 树, Crane 也给出了一个高效的合并算法。
如果你对于这一问题感兴趣,不妨看看我们习题解析中相应的习题。