前言
二叉搜索树（BST）是一种基础的数据结构，能够高效地进行搜索、插入和删除操作。然而，在最坏的情况下，普通的BST可能会退化成一条链表，导致操作效率降低。为了避免这种情况，出现了自平衡二叉搜索树，AVL树就是其中的一种。
一、什么是AVL树？
AVL树是Adelson-Velsky和Landis在1962年发明的一种自平衡二叉搜索树。它的特点是通过对树进行旋转操作来保持平衡，以确保在最坏情况下，树的高度仍然是O(log n)，从而保证插入、删除和查找操作的时间复杂度都是O(log n)。
1.1 AVL树的平衡因子
AVL树的核心概念是平衡因子（Balance Factor）。对于树中的任意节点，平衡因子定义为其右子树高度减去左子树高度的值（其实左右都可以，只要保证左右子树的高度差的绝对值小于等于1就行）。即：
- 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
为了保证AVL树的平衡，平衡因子的取值必须是-1、0或1。一旦某个节点的平衡因子超出这个范围，就需要进行旋转操作来恢复平衡。（旋转操作后续讲解）
2.2 AVL树平衡因子的更新
我们规定，当一个节点的右子树高度增加时，此时平衡因子就++，当他的左子树节点增加，该节点的平衡因子就--。
于是我们就会遇见以下三种情况：
1、平衡因子更新为0：
这说明之前的平衡因子为-1或者1，都有过高度差值，但此次插入导致差值为0，两边子树高度相同。所以不需要再继续向父节点检查。
2、平衡因子更新为-1或者1：
这说明之前的平衡因子为0（不可能为-2或者2，因为说明插入前就不是AVL树了），此次插入将之前平衡的高度差再次拉上差距，我们需要继续向上检查当前节点的父节点，是否会出现平衡因子异常。并且，若该节点为父节点的左子节点，就让父节点平衡因子--，否则让其++。
3、平衡因子为-2或者2：
这后面插入之后已经不是一个AVL树了，我们需要对该异常节点进行旋转操作。
二、AVL树的旋转
1、左单旋：
以这个抽象图为例，Parent的左子树高度为h，我们命名为a，subR为Parent的右子树，subR左右子树的高度一开始都是h，我们分别命名为b,c。
如果要对Parent进行左旋，那么此时a，b，c的高度都必须为h，并且c子树必须为满二叉树（如果不是，那么插入到空缺的叶子结点，高度不变，高度差仍然为1），否则Parent节点不能满足两边子树高度差绝对值大于1的条件。
此时只要在c子树上插入任意一个结点，都会使c的高度变为h+1，导致subR的高度差为1，根据上文，这会导致继续向上检查父节点，（父节点原本平衡因子为1），更新后为2，由于两个节点的平衡因子分别为2,1，同号单旋，异号双旋，所以需要对Parent节点进行左单旋。
具体方法就是将subR的左子树赋给Parent的右子树，让Parent的父节点指向subR节点。
我们以一个比较理解的例子为例：
在这个例子中，h为0，我们插入一个C节点到B节点的右子树，就会导致A节点的平衡因子出现问题，需要进行左旋操作。
随后我们将b的左子树给A的右子树（因为这里B的左子树为空，所以就没体现出来），随后让A的父节点变为B的父节点（在这里要判断A为他父节点的什么子树，左还是右，随后给B相应的身份）。
最后不要忘记更新平衡因子为0.
代码实现：
（我们以这样的定义为背景（后面的代码一样））
：
template<class T, class K>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair<T, K>& kv)
:_kv(kv)
, parent(nullptr)
, left(nullptr)
, right(nullptr)
, _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T, K>* right;
AVLTreeNode<T, K>* left;
AVLTreeNode<T, K>* parent;
pair<T, K> _kv;
int _bf;
};
template<class T, class K>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<T, K> Node;
private:
Node* _root;
};parent指向父节点，_bf为平衡因子，_kv为存储的数据
本文为旋转的介绍，所以AVL树的删除插入一律跳过，想看的朋友可以在评论区留言，我也许会单独发一篇AVL树的模拟实现讲解。
void RotateL(Node* Parent)
{
Node* pParnet = Parent->parent;//指向Parent的父节点
Node* subR = Parent->right;//subR节点
Node* subRL = subR->left;//subRL节点，指向等会交给Parent的右子树的节点
//先把subRL给Parent的右子树
Parent->right = subRL;
if (subRL)//判断subRL是否为空
{
//不为空时要更新subRL的父节点
subRL->parent = Parent;
}
//随后判断Parent的父节点是否为空，为空就说明Parent为当前树的根节点。
if (pParnet == nullptr)
{
_root = subR;
subR->parent = nullptr;//进行更新，根节点替换为subR
}
else
{
//不为空
if (pParnet->left = Parent)
{
//Parent为pParent的左子树节点
pParnet->left = subR;
}
else
{
ppParent->right = subR;
}
subR->parent = pParnet;//更新subR的父节点
}
//旋转结束后，更新平衡因子
Parent->_bf = subR->_bf = 0;//进行左旋的条件是，Parent的平衡因子一开始为2，subR平衡因子为1，二者同号且为正，进行左单旋
}按照一开始讲解的逻辑按部就班的书写代码就行，注意的是一开始传递的参数只有一个Parent节点,我们需要提前创建指针指向subR,subRL,pParent。
2、右单旋
与左单旋相对应的就是右单旋，他就像是左单旋的轴对称一样。
此时只要对a进行插入（a必须为满二叉树），就会触发连续向上的平衡因子更新检查，一直更新到subL为-1，随后向上导致Parent平衡因子为-2 。
同号单旋，异号双旋，由于都是负数，就对Parent进行右单旋。
一样的逻辑，先让Parent的左子树指向subL的右子树节点，随后让Parent的父节点成为subL的父节点。
代码演示：
void RotateR(Node* Parent)
{
Node* pParent = Parent->parent;
Node* subL = Parent->left;
Node* subLR = subL->right;
Parent->left = subLR;
if (subLR)//subLR是否为空
{
subLR->parent = Parent;
}
if (pParent == nullptr)//pParent是否为空
{
_root = subL;
subL->parent = nullptr;
}
else
{
if (pParent->left = Parent)
{
pParent->left = subL;
}
else
{
pParent->right = subL;
}
subL->parent = pParent;
}
subL->_bf = Parent->_bf = 0;
}3、右左双旋
我们之前只分析了二者平衡因子同号的情况，倘若Parent平衡因子为2，子树平衡因子为-1，或者Parent平衡因子为-2，子树平衡因子为1的时候，又该怎么办呢？
我们发现倘若在进行单项旋转的话，avl树仍然不会保持平衡。这时候就就需要进行双旋了。
由于Parent为2，子树为-1，异号进行左右双旋，先对子树进行左旋，再对Parent进行右旋。
注意，此时要更新旋转后的平衡因子，结果与subRL的平衡因子有关系，倘若subRL为-1，说明Parent的最后平衡因子为0，两个子树高度都为h，而subR的平衡因子为1，因为右子树高度为h，左子树高度为h-1。
代码演示如下：
void RotateRL(Node* Parent)
{
Node* subR = Parent->right;
Node* subRL = subR->left;
int bf = subRL->_bf;//此时的subRL不可能为空，因为a的高度为h，bc高度为h-1，d高度为h，要想旋转，subRL必须存在。
//或者说，subRL至少也是那个新插入的节点即：h为0，h-1代表subRL就是新插入的节点
//我们这里可以复用之前写的单旋代码：
RotateR(subR);
RotateL(Parent);
if (bf == 0)
{
//说明subRL就是新插入的节点
subR->_bf = subRL->_bf = Parent->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
//插入在subRL的左树上
Parent->_bf = subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
Parent->_bf = -1;
subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);//说明出现了其他情况，报错就行了
}
}注意，在复用之前单旋代码前，我们必须先保存当前subR，subRL的节点指针，并且知道subRL的平衡因子大小，这对我们更新最后的平衡因子有帮助。
4、左右双旋
如图，左右双旋也是右左双旋的翻版，思路只能说是差不了多少。
void RotateLR(Node* Parent)
{
Node* subL = Parent->left;
Node* subLR = subL->right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(Parent);
if (bf == 0)
{
subL->_bf = subLR->_bf = Parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
Parent->_bf = -1;
subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subL->_bf = 1;
subLR->_bf = Parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}总结：
AVL树作为自平衡二叉搜索树的经典实现，通过对树的高度进行严格控制，确保了高效的查找、插入和删除操作。尽管其操作复杂度较高，但在需要频繁查找和维护较大数据集的场景中，AVL树无疑是一种值得选择的数据结构。
优点
- 平衡性好：通过自动调整树的高度，确保在最坏情况下，操作的时间复杂度保持在O(log n)。
- 查找性能稳定：在大量数据插入或删除操作后，AVL树能够依然保持较好的查找性能。
缺点
- 插入与删除操作复杂度较高：每次插入或删除节点后，可能需要进行多次旋转操作来恢复平衡，增加了操作的复杂性和耗时。
- 空间开销大：为了维护平衡因子，AVL树需要在每个节点存储额外的高度信息，增加了空间开销。
