121. 买卖股票的最佳时机
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划之 LeetCode：121.买卖股票的最佳时机1
题目描述：
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
解题思路：
1、状态表示：
0表示买入，1表示卖出
dp[i][0]：第i天结束时，处于「买入」状态，此时的最大利润；
dp[i][1]：第i天结束时，处于「卖出」状态，此时的最大利润；
2、状态转移方程：
因为只能买卖一次，故买入时手中利润为0
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],0-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);3、初始化：
dp[0][0] = -1*prices[0]，dp[0][1] = 0
4、遍历顺序：
按prices从左往右遍历
5、返回值：
返回dp[n-1][1]（没有dp[n-1][0]原因是如果当前还存有股票，一定不是最大利润）
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));
dp[0][0] = -prices[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],0-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);
}
return dp[n-1][1];
}
};122.买卖股票的最佳时机II
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II
题目描述：
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1：
输入：prices = [7,1,5,3,6,4] 输出：7 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。 最大总利润为 4 + 3 = 7 。
解题思路：
1、状态表示：
0表示买入，1表示卖出
dp[i][0]：第i天结束时，处于「买入」状态，此时的最大利润；dp[i][1]：第i天结束时，处于「卖出」状态，此时的最大利润；
2、状态转移方程：
可以买卖无数次，故买入时手中利润为dp[i-1][1]
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//就此处与上一题不一样
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);3、初始化：
dp[0][0] = -1*prices[0]，dp[0][1] = 0
4、遍历顺序：
按prices从左往右遍历
5、返回值：
返回dp[n-1][1]（没有dp[n-1][0]原因是如果当前还存有股票，一定不是最大利润）
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));
dp[0][0] = -1 * prices[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
}
return dp[n-1][1];
}
};123.买卖股票的最佳时机III
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III
题目描述：
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
解题思路：
1、状态表示：
f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买入」状态，此时的最大利润；
g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最大利润。2、状态转移方程：
对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买入」状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最大利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。
综上，我们要的是「最大利润」，因此是两者的最大值：
f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。
对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不干即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买入」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 比交易。此时的最大利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不一定存在，要先判断一下。
综上，我们要的是最大利润，因此状态转移方程为：
g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
3、初始化：
f[0][0] = - prices[0] 。
f[0][k](k>=1)为不存在状态，为了取 max 的时候，这些状态「起不到干扰」的作用，我们统统将它们初始化为 -INF （用 INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的风险，这里 INF 折半取0x3f3f3f3f ，足够小即可）
4、遍历顺序：
从「上往下填」每一行，每一行「从左往右」，两个表「一起填」。
5、返回值：
返回处于「卖出状态」的最大值，但是我们也「不知道是交易了几次」，因此返回 g 表最后一行的最大值。
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> f(n,vector<int>(3));
auto g = f;
f[0][0] = -1 * prices[0];
for(int j = 1; j < 3; j++)
f[0][j] = g[0][j] = -1 * 0x3f3f3f3f;
for(int i = 1; i < n ; i++)
{
for(int j = 0; j < 3; j++)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i-1][j];
if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
}
}
int result = 0;
for(int i = 0; i < 3; i++)
result = max(g[n-1][i],result);
return result;
}
};188.买卖股票的最佳时机IV
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划来决定最佳时机，至多可以买卖K次！| LeetCode：188.买卖股票最佳时机4
题目描述：
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
解题思路：
在上一题的基础上将交易2次改为交易k次，需要注意会存在交易不符合实际情况--交易次数k大于总天数的一半（2天为一次交易周期），需要预处理k值
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
const int INF = -1 * 0x3f3f3f3f;
int n = prices.size();
k = min(k,n/2);
vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k+1,INF));
auto g = f;
f[0][0] = -1 * prices[0];
g[0][0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j <= k; j++)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
g[i][j] = g[i-1][j];
if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
}
}
int result = 0;
for(int i = 0; i <= k; i++)
result = max(result,g[n-1][i]);
return result;
}
};309.最佳买卖股票时机含冷冻期
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划来决定最佳时机，这次有冷冻期！| LeetCode：309.买卖股票的最佳时机含冷冻期
题目描述：
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
解题思路：
1、状态表示：
有「买入」「可交易」「冷冻期」三个状态。
选择用三个数组：
dp[i][0] 表示：第 i 天结束后，处于「买入」状态，此时的最大利润；
dp[i][1] 表示：第 i 天结束后，处于「冷冻期」状态，此时的最大利润；
dp[i][2] 表示：第 i 天结束后，处于「可交易」状态，此时的最大利润。2、状态转移方程：
谨记规则：
1）处于「买入」状态的时候，我们现在有股票，此时不能买股票，只能继续持有股票，或者卖出股票；
2）处于「卖出」状态的时候：
- 如果「在冷冻期」，不能买入；
- 如果「不在冷冻期」，才能买入。
根据如下状态图可以得到状态表示：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]);//买入
dp[i][1] = dp[i-1][0]+prices[i];//冷冻期
dp[i][2] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//可交易3、初始化：
三种状态都会用到前一个位置的值，因此需要初始化每一行的第一个位置：
dp[0][0] ：此时要想处于「买入」状态，必须把第一天的股票买了，因此 dp[0][0] = -1*
prices[0] ；
dp[0][1] ：手上没有股票，买一下卖一下就处于冷冻期，此时收益为 0 ，因此dp[0][2]= 0 ；
dp[0][2] ：啥也不用干即可，因此 dp[0][1] = 0 。4、遍历顺序：
根据「状态表示」，我们要三个表一起填，每一个表「从左往右」。
5、返回值：
应该返回「卖出状态」下的最大值，因此应该返回max(dp[n-1][1]，dp[n-1][2])。
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(3));
dp[0][0] = -1 * prices[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]);//买入
dp[i][1] = dp[i-1][0]+prices[i];//冷冻期
dp[i][2] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//可交易
}
return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);
}
};714.买卖股票的最佳时机含手续费
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
动态规划来决定最佳时机，这次含手续费！| LeetCode：714.买卖股票的最佳时机含手续费
题目描述：
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出：8 解释：能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
解题思路：
在122.买卖股票的最佳时机Ⅱ基础上每次交易时减去fee手续费即可
代码：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));
dp[0][0] = -1 * prices[0];
for(int i = 1; i < n; i ++)
{
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
}
return dp[n-1][1];
}
};
