在前一篇博客中，我们研究了一些离散时间模型的例子。特别是，我们推导出了离散逻辑方程的重要例子。
数学生物学-2-离散时间模型(Discrete Time Models）-CSDN博客
在本篇文章中，我们将考虑离散时间模型的一般形式（在数学中也称为“离散动态系统”）。我们将介绍确定固定点（未来时间步长不变的人口规模（x）值）以及这些固定点的稳定性的方法。
固定点和蛛网图（Cobwebbing）
固定点和蛛网图（Cobwebbing）是研究离散时间模型中非常重要的概念，它们有助于我们理解系统随时间的动态行为。在一般离散时间模型中，我们考虑形如：
的方程，其中 f(x)是给定的实函数，x0 是初始状态。该模型的轨道是由一系列点组成的序列，这些点按照
的形式生成，从 n=0开始。
定义：
（1）平衡态或固定点是指满足：
的任何 x。换句话说，固定点是函数 f(x) 图像与直线y=x 的交点。
（2）如果一个轨道从接近固定点 x的点开始，并且始终保持接近 x，那么这个平衡态被认为是稳定的。如果轨道最终会远离 x，则该固定点被认为是不稳定的。通常，如果 x是稳定的，那么这样的轨道会趋向于 x；如果 x是不稳定的，轨道会从 x 的至少一侧远离。
（3）蛛网图是一种图形技术，用于在 f(x) 的图像上可视化轨道，以确定给定的固定点是稳定还是不稳定。这种方法涉及绘制从初始点开始的一系列点，并追踪这些点如何随时间变化而移动。
例1：简单离散逻辑模型
这个例子描述了一个简单的离散逻辑模型，其形式为：
其中，a是模型的一个参数，xn是第 n代的种群大小。
首先，通过设定 f(x)=x，我们得到：
然后，将 f(x)设置为 x 来找到平衡状态或不动点：
这可以解出两个不动点：
我们使用Mathematica可视化：
在图中增加蛛网过程显示了x = 0.6处固定点的稳定性。该过程是通过在x轴上的某点画一条垂直线开始，垂直画到f(x)曲线。然后水平继续画线到对角线（f(x) = x）。重复这个过程，直到清楚地看到线条是否接近固定点（两条曲线相交的地方）。在这里可以看到蛛网线从x = 0处的不稳定固定点移开，并朝向x = 0.6处的稳定固定点。实际上，还应该从x轴上大于0.6的点绘制蛛网线。
线性稳定性分析
线性稳定性分析是一种通过微积分来测试系统稳定性的方法，它适用于离散时间方程，如形如
的迭代方程，其中 f(x)是一个光滑的可微函数。该分析的核心在于考察函数 f(x) 在其不动点 x^ 处的导数 f′(x^)。
根据 f′(x^)f′(x^) 的值，可以判断不动点 x^x^ 的稳定性：
-
如果
，即
，那么不动点 
是稳定的。这意味着系统的微小扰动会随时间衰减，系统最终会回到这个不动点。 -
如果
，即
，那么不动点是不稳定的。在这种情况下，系统的小扰动会随时间放大，导致系统偏离这个不动点。 -
如果
，即
，线性稳定性分析无法得出结论。这种情况下，需要使用其他方法，如蛛网图（cobwebbing），来确定不动点的稳定性。
例2：离散逻辑方程
我们考虑一个离散逻辑方程：
当
，求解导数可得：
因此第一个是不稳定的，第二个是稳定的，我们可以使用mathematica可视化得到：
总结
在这一篇博客中，我们描述了如何计算一般离散时间模型的不动点。接下来，我们考虑了一种方法，使用蛛网法的图形化方法来确定这些不动点是稳定还是不稳定。基于微积分中寻找模型函数导数的方法，我们推导出了一种更具分析性的评估不动点稳定性的方法，即线性稳定性分析。我们给出了两个使用软件Mathematica寻找不动点并应用线性稳定性分析的例子。
